
\begin{enumerate}
\item $P(3)=0$ et $P(-2)=0$.
\item On en déduit que $P(x)=(x-3)(x+2)(ax^2+bx+c)$, soit $P(x)=(x^2-x-6)(ax^2+bx+c)$.
\begin{align*}
(x^2-x-6)(ax^2+bx+c) & = ax^4+bx^3+cx^2-ax^3-bx^2-cx-6ax^2-6bx-6c\\[6pt]
& = ax^4+(b-a)x^3+(c-b-6a)x^2+(-c-6b)x-6c\\[6pt]
& = 10x^4-29x^3-34x^2+107x-42
\end{align*}
Donc :

\[
\begin{cases}
a&=10\\
b-a&=-29\\
c-b-6a&=-34\\
-c-6b&=107\\
-6c&=-42
\end{cases}
\]

\medskip

On en déduit que $a=10$ et $c=7$, puis que $b=-29+a=-19$.

Finalement, $\boxed{P(x)=(x^2-x-6)(10x^2-19x+7)}$.

\item Le discriminant du polynôme $10x^2-19x+7$ est :
\[
\Delta=(-19)^2-4\times10\times7=81=9^2.
\]
Ses deux racines sont alors :
\[
x_1=\dfrac{19-9}{20}=\dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{19+9}{20}=\dfrac{7}{5}.
\]

Les racines de $P$ sont donc : $-2$, 3, $\dfrac{7}{5}$ et $\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
