
\begin{enumerate}
\item $x^2+x+1<0$.

Le discriminant de $x^2+x+1$ est $\Delta=1-4\times1\times1=-3<0$ donc le trinôme est du signe du coefficient de $x^2$, soit \og 1 \fg{} ici, donc positif.

L'ensemble solution est donc :
\[
\boxed{S=\varnothing}
\]

\item $2x^2-5x+3\leqslant0$

Le discriminant de $2x^2-5x+3$ est $\Delta=25-24=1$. Il y a donc deux racines : $\alpha=\dfrac{5-1}{4}=1$ et $\beta=\dfrac{5+1}{4}=\dfrac{3}{2}$.

Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $-a$ entre ses racines, donc $2x^2-5x+3\leqslant0$ pour $x\in\intervFF{1}{\dfrac{3}{2}}$.
\[
\boxed{S=\intervFF{1}{\dfrac{3}{2}}}
\]

\item $-x^2+3x-2>0$

Le discriminant de $-x^2+3x-2$ est $\Delta=9-4\times(-1)\times(-2)=1$ donc il admet deux racines distinctes : $\alpha=\dfrac{-3-1}{-2}=2$ et $\beta=\dfrac{-3+1}{-2}=1$.

Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $-a$ entre ses racines donc l'ensemble solution de l'inéquation est  :
\[
\boxed{S=\intervOO{1}{2}}
\]

\item $-5x^2-9x+3\leqslant0$.

Le discriminant de $-5x^2-9x+3$ est $\Delta=81-4\times(-5)\times3=21$ donc il admet deux racines : $\alpha=\dfrac{9-\sqrt{21}}{-10}=\dfrac{-9+\sqrt{21}}{10}$ et $\beta=\dfrac{-9-\sqrt{21}}{10}$.

Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ (donc négatif) à l'extérieur des racines, donc l'ensemble solution de l'inéquation est :
\[
\boxed{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{-9+\sqrt{21}}{10}}\cup\intervFO{\dfrac{-9+\sqrt{21}}{10}}{+\infty}}
\]

\item $3x^2-7x+10\geqslant0$

Le discriminant de $3x^2-7x+10$ est $\Delta=49-4\times3\times10=-71<0$ donc il est toujours du signe de \og 3 \fg, donc positif. L'ensemble solution est donc :
\[
\boxed{S=\R}
\]

\item $4x^2-20x+25>0$

Le discriminant de $4x^2-20x+25$ est $\Delta=400-4\times4\times25=0$. Par conséquent, il est du signe de \og 4 \fg{}  (donc positif) tout le temps sauf en sa racine $\alpha=-\dfrac{-20}{2\times4}=\dfrac{5}{2}$ (où il est nul). Par conséquent, l'ensemble solution de l'inéquation est :
\[
\boxed{S=\R\setminus\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}
\]

\item $\dfrac{1-4x}{x^2-3x+2}\geqslant0$

Le discriminant de $x^2-3x+2$ est $\Delta=9-8=1$. Par conséquent, il admet deux racines distinctes $\alpha=\dfrac{3-1}{2}=1$ et $\beta=\dfrac{3+1}{2}=2$.
On en déduit le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20, espcl = 1.5]
	{$x$/0.8,%
	$1-4x$/0.5,%
	$x^2-3x+2$/0.5,%
	$\dfrac{1-4x}{x^2-3x+2}$/1.5}
	{$-\infty$,$\frac{1}{4}$,1,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,,-,,-}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution de l'inéquation est alors :
\[
\boxed{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{1}{4}}\cup\intervOO{1}{2}}
\]

\item $(2x-3)(-2x^2+5x+3)<0$

Le discriminant de $-2x^2+5x+3$ est $\Delta=25+24=49$ donc il admet deux racines : \mbox{$\alpha=\dfrac{-5-7}{-4}=3$} et $\beta=\dfrac{-5+7}{-4}=-\dfrac{1}{2}$. On en déduit le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=1.5,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.9,$2x-3$/0.7,$-2x^2+5x+3$/0.7,$(2x-3)(-2x^2+5x+3)$/0.7}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$,3,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution de l'inéquation est alors :
\[
\boxed{S=\intervOO{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}}\cup\intervOO{3}{+\infty}}
\]

\end{enumerate}
