
Avant toute chose, on cherche le domaine de validité de l'inéquation.

\medskip

Cette inéquation existe lorsque :
\[
\begin{cases}
5x-17\neq0\\
10x^2-49x+51\neq0
\end{cases}
\]

Le discriminant du polynôme $10x^2-49x+51$ est :
\begin{align*}
\Delta & = (-49)^2-4\times10\times51\\
& = 361\\
& = 19^2 >0
\end{align*}
donc il admet deux racines distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-(-49)-19}{2\times10}=\dfrac{3}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{49+19}{20}=\dfrac{17}{5}.
\]
Il peut donc se factoriser sous la forme :
\begin{align*}
10x^2-49x+51 & =10\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\
& = 5\times2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\
& = 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\times5\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\
& = (2x-3)(5x-17).
\end{align*}
Cette factorisation va être importante pour la résolution de l'inéquation.

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Le domaine de validité de l'inéquation est donc $\R\setminus\left\lbrace\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{17}{5}\right\rbrace$.

\begin{align*}
\dfrac{7x-10}{5x-17}\geqslant\dfrac{25(x+2)}{10x^2-49x+51} &
\iff \dfrac{7x-10}{5x-17}-\dfrac{25(x+2)}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{7x-10}{5x-17}-\dfrac{25(x+2)}{(2x-3)(5x-17)}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{(7x-10)(2x-3)}{(5x-17)(2x-3)}-\dfrac{25(x+2)}{(2x-3)(5x-17)}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{14x^2-21x-20x+30-25x-50}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{14x^2-66x-20}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{2(7x^2-33x-10)}{10x^2-49x+51}\geqslant0
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $7x^2-33x-10$ est :
\begin{align*}
\Delta' & = (-33)^2-4\times7\times(-10)\\
& = \numprint{1369}\\
& = 37^2 >0.
\end{align*}
Donc il admet deux racines distinctes : $\alpha=\dfrac{-(-33)-37}{2\times7}=-\dfrac{2}{7}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{33+37}{14}=5$.

En utilisant la propriété du signe d'un trinôme du second degré, on obtient le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5,lgt=4,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.8,$7x^2-33x-10$/0.5,$10x^2-49x+51$/0.5,$\dfrac{2(7x^2-33x-10)}{10x^2-49x+51}$/1.2}{$-\infty$,$-\frac{2}{7}$,3,$\frac{17}{5}$,5,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ainsi, $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{2}{7}}\cup\intervOO{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{17}{5}}\cup\intervFO{5}{+\infty}}$.
