
\begin{enumerate}
\item On recherche d'abord les valeurs interdites, donc les valeurs de $x$ pour lesquelles:
\[
x^2+x+1=0
\]
Le discriminant de $x^2+x+1$ est :
\[
\Delta = b^2-4ac = 1^2-4\times1\times1 = -3.
\]
$\Delta<0$ donc le dénominateur n'admet aucune racine; il ne s'annule donc pas.

Il n'y a donc pas de valeurs interdites; par conséquent, le domaine de définition de l'inéquation est : $\R$.

\item Recherche des racines du numérateur : $5x^2-3x-2$.

\[ \Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4\times5\times(-2)=9+40=49.
\]
Il y a donc deux racines :
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3-7}{10}=-\frac{2}{5}
\]
et
\[
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3+7}{10}=1.
\]
\item On déduit alors le tableau de signes suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$5x^2-3x-2$/0.5,$x^2+x+1$/0.5,$\dfrac{5x^2-3x-2}{x^2+x+1}$/1.5}{$-\infty$,$-\frac{2}{5}$,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\tkzTabLine{,+,,+,,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution de l'inéquation est donc :
\[
\boxed{S = \intervOO{-\dfrac{2}{5}}{1}}
\]

\item On cherche avant tout les valeurs interdites, donc les valeurs de $x$ pour lesquelles :
\[
x^2+x-6=0.
\]

$\Delta = b^2-4ac=1^2-4\times1\times(-6)=25>0$.

Donc il y a deux valeurs interdites :
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3
\]
et
\[
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2.
\]
Le domaine de définition de l'inéquation est donc : $\R\setminus\{-3;2\}$.

\item On cherche maintenant les racines du numérateur: $-3x^2-5x+2$.
\[
\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4\times(-3)\times2 = 49.
\]
Il y a donc deux racines :
\[
x_3=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{49}}{-6}=\frac{1}{3}
\]
et
\[
x_4=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{49}}{-6}=-2.
\]

\item On construit le tableau de signes de la fraction:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$-3x^2-5x+2$/0.5,$x^2+x-6$/0.5,$\dfrac{-3x^2-5x+2}{x^2+x-6}$/1.5}{$-\infty$,$-3$,$-2$,$\frac{1}{3}$,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,z,-,,-}
\tkzTabLine{,+,z,-,,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution est donc:
\[
\boxed{S = \intervOO{-\infty}{-3}\cup\intervOO{-2}{\dfrac{1}{3}}\cup\intervOO{2}{+\infty}}
\]
\end{enumerate}
