
Notons ${\cal A}$ l'aire du \og grand rectangle \fg{} à l'intérieur duquel se trouve le rectangle plein, dont l'aire sera notée ${\cal A}'$.

${\cal A}-{\cal A}'$ désignera donc l'aire de la partie blanche.
\begin{align*}
{\cal A}-{\cal A}'
& = 30\times16 - (30-2x)(16-2x)\\
& = 480 - (480 -60x-32x+4x^2)\\
& = 92x-4x^2.
\end{align*}

Ainsi, l'aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur si :
\begin{align*}
92x-4x^2 = 480 -92x+4x^2 & \iff 8x^2-184x+480=0\\
& \iff x^2-23x+60=0 \quad\text{(en divisant les deux membres par 8)}
\end{align*}
Le discriminant de $x^2-23x+60$ est :
\[
\Delta=(-23)^2-4\times60=289=17^2\]
donc les solutions de l'équation $x^2+23x+60=0$ sont :
\[
x_1=\dfrac{23-17}{2}=3\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{23+17}{2}=20.
\]
Or, $0\leqslant x\leqslant8$ car la largeur du rectangle extérieur est égale à 16 et que $x$ ne peut excéder sa moitié.

\medskip

\uline{Ainsi, pour $x=3$, l'aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur.}
