
\begin{enumerate}
\item Le domaine de validité de l'équation :
\[ \sqrt{x+1}=2x-3\]
est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que :
\[
\begin{cases}
x+1\geqslant0\\
2x-3\geqslant0
\end{cases}
\]
soit :
\[ x\geqslant\dfrac{3}{2}.\]

On a :

\begin{align*}
\sqrt{x+1}=2x-3 & \Longleftrightarrow x+1=(2x-3)^2\\
& \Longleftrightarrow x+1=4x^2-12x+9\\
& \Longleftrightarrow 4x^2-13x+8=0.
\end{align*}

Le discriminant de $4x^2-13x+8$ est :
\[ \Delta = 169-128=41.\]

Les solutions de l'équation sont donc potentiellement :
\[
\alpha=\dfrac{13-\sqrt{41}}{8}\approx0,82\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}\approx2,43.
\]
Comme $\alpha<\dfrac{3}{2}$ et $\beta\geqslant\dfrac{3}{2}$, l'ensemble solution de l'équation est :
\[
\boxed{S=\left\{\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}\right\}}
\]

\item Le domaine de validité de l'équation :

\medskip

\[ \sqrt{x^2-8}=2x-5\]

est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que :

\medskip

\[
\begin{cases}
x^2-8\geqslant0\\
2x-5\geqslant0
\end{cases}\qquad\text{soit :}x\geqslant2\sqrt2.
\]

On a :

\begin{align*}
\sqrt{x^2-8}=2x-5 & \Longleftrightarrow x^2-8=(2x-5)^2\\
& \Longleftrightarrow x^2-8=4x^2-20x+25\\
& \Longleftrightarrow 3x^2-20x+33=0
\end{align*}

\medskip

Le discriminant de $3x^2-20x+33$ est : $\Delta=400-396=4$, donc il y a deux solutions potentielles :

\medskip


\[\alpha=\dfrac{20-2}{6}=3\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{11}{3}.\]
$\alpha>2\sqrt2$ et $\beta>2\sqrt2$ donc l'ensemble solution de l'équation est :

\medskip

\[
\boxed{S=\left\{3~;~\dfrac{11}{3}\right\}}
\]

\item Le domaine de validité de l'équation :
\[
\sqrt{2x-1}=1-2x
\]
est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que :
\[
\begin{cases}
2x-1\geqslant0\\
1-2x\geqslant0
\end{cases}
\]
soit $x=\dfrac{1}{2}$.

\medskip

Donc nul besoin d'aller plus loin; l'ensemble solution de l'équation $\sqrt{2x-1}=1-2x$ est :

\[
\boxed{S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}}
\]
\end{enumerate}
