
\begin{enumerate}
\item L'équation est équivalente à
\[
x^2-x-1=0.
\]
Le discriminant du trinôme est :
\[
\Delta=5
\]
donc les solutions de l'équation sont :
\[
\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
\]

\item On a :
\[
N^2=1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}=1+N.
\]
Donc $N$ est solution de l'équation de la question 1.

Comme $N>0$, on en déduit que :
\[
\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}=\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
\]
\end{enumerate}
