
\begin{itemize}
\item \textbf{Méthode 1 : utilisation des formules du cours.} On sait que la parabole d'équation\linebreak $y=ax^2+bx+c$ a pour sommet $S$ d'abscisse $-\dfrac{b}{2a}$.

Donc l'abscisse de $S_k$ est : $x_k=-\dfrac{-2k}{2}=k$.

L'ordonnée est obtenue en remplaçant $x$ par $x_k$ dans l'équation de la parabole :
\[ y_k=k^2-2k\times k+k^2+2k+1=2k+1.
\]
Donc $y_k=2x_k+1$, ce qui signifie que $S_k$ est sur la droite d'équation $y=2x+1$. Ils sont donc alignés.

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\item \textbf{Méthode 2 : forme canonique.} L'équation de $\mathcal{P}_k$ est :
\[
y=(x-k)^2+2k+1.
\]
Cette dernière écriture est la forme canonique de l'équation de $\mathcal{P}_k$, qui nous dit que son sommet à pour coordonnées \coord{k}{2k+1}.

Comme l'ordonnée de $S_k$ est égale au double de son abscisse augmenté de 1, ils appartiennent tous à la droite d'équation $y=2x+1$.

Les sommets sont donc bien tous alignés.

\item \textbf{Méthode 3 : utilisation des vecteurs.} On utilise la forme canonique précédente pour voir que $S_k\coord{k}{2k+1}$, et donc $S_{k+1}\coord{k+1}{2(k+1)+1}=\coord{k+1}{2k+3}$.

Ainsi, $\vv{S_kS_{k+1}}\dbinom{(k+1)-k}{(2k+3)-(2k+1)}=\dbinom{1}{2}$.

Par conséquent, quelle que soit la valeur de $k$, $\vv{S_kS_{k+1}}$ a toujours les mêmes coordonnées; donc, par exemple, $\vv{S_kS_{k+1}}=\vv{S_{k+1}S_{k+2}}$, ce qui signifie que tous les points $S_k$, $S_{k+1}$ et $S_{k+2}$ sont alignés. Comme ce résultat est valable pour toutes les valeurs de $k$, cela signifie que tous les points $S_k$ sont alignés.
\end{itemize}
