
\begin{enumerate}
\item $\widehat{AGC}=\widehat{FIC}$ et $\widehat{GAC}=\widehat{IFC}$ car $(FI)$ et $(AB)$ sont parallèles. Les triangles $AGC$ et $FIC$ sont donc semblables.

\medskip

$AGC$ étant isocèle en $G$, $FIC$ est isocèle en $I$; par conséquent, $IC=IF=\dfrac{1}{2}x$.

On en déduit alors que $GI=5-\dfrac{1}{2}x$.

\item Le triangle $FIG$ est rectangle en $F$ donc, d'après le théorème de Pythagore,
\begin{align*}
IG^2=FI^2+FG^2 & \iff \left(5-\frac{x}{2}\right)^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2+x^2\\
& \iff 25-5x+\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}+x^2\\
& \iff x^2 +5x-25=0.
\end{align*}

\item Le discriminant du polynôme $x^2+5x-25$ est:
\[
\Delta=5^2-4\times1\times(-25)=125=\big(5\sqrt5\big)^2.
\]
Les deux solutions de l'équation $ x^2 +5x-25=0$ sont donc:
\[
x_1=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}.
\]
La seule solution qui convient à notre problème est $x_2$ car $x_1<0$ et $0<x_2<5$.
\end{enumerate}
