
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
& \Delta=20+8\sqrt{6}\\
\iff & \big(a+b\sqrt{6}\big)^2=20+8\sqrt{6}\\
\iff & a^2+2ab\sqrt{6}+6b^2=20+8\sqrt{6}\\
\iff & a^2+6b^2+2ab\sqrt{6}=20+8\sqrt{6}\\
\iff & \begin{cases}
a^2+6b^2 & =20\\
2ab & = 8
\end{cases}\\
\iff & \boxed{\begin{cases}
a^2+6b^2 & =20\\
ab & = 4
\end{cases}}
\end{aligned}$

\item $ab=4$ donc $b=\dfrac{4}{a}$. La première équation donne alors :
\begin{align*}
a^2+6b^2 =20 & \iff a^2+\left(\dfrac{4}{a}\right)^2=20\\
& \iff a^2+6\times\dfrac{16}{a^2}=20\\
& \iff a^4+96=20a^2\\
& \iff \boxed{a^4-20a^2+96=0}
\end{align*}

\item On pose $A=a^2$ ; l'équation $a^4-20a^2+96=0$ est équivalente à :
\[ A^2-20A+96=0 \]
dont le discriminant est :
\[
\Delta' = (-20)^2-4\times1\times96=16=4^2.
\]
L'équation $A^2-20A+96=0$ admet donc deux solutions :
\[
A_1=\dfrac{20-4}{2}=8=a_1^2\qquad\text{et}\qquad A_2=\dfrac{20+4}{2}=12=a_2^2.
\]
Ainsi, $a_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ou $a_1=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$, et $a_2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ ou $a_2=-2\sqrt{3}$.

Faisons le choix de prendre $a=2\sqrt{2}$ ; alors $b=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Dans ce cas, $a+b\sqrt{6}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}\times\sqrt{6}=2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)$.

Or, $\big[2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)\big]^2=4\big(2+3+2\sqrt{6}\big)=20+8\sqrt{6}=\Delta$.

\medskip

Ainsi, $\boxed{\sqrt{\Delta}=2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}$.
\end{enumerate}

\item Le discriminant de $4x^2+2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)x-\sqrt{6}$ est :
\begin{align*}
\Delta & = \big[2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)\big]^2-4\times4\times\big(-\sqrt{6}\big)\\
& = 4\big(3+2-2\sqrt{6}\big)+16\sqrt{6}\\
& = \boxed{20+8\sqrt{16}}.
\end{align*}
Ainsi, l'équation admet deux solutions distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)-\sqrt{\Delta}}{2\times4}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\]

et

\[
x_2=\dfrac{-2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)+\sqrt{\Delta}}{2\times4}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}{8}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Ainsi, \[ \boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\sqrt3}{2}~;~\dfrac{\sqrt2}{2}\right\}} \]
\end{enumerate}
