
\youtube{https://www.youtube.com/watch?v=MRMOVEjeeMs}

Le trinôme admet une racine double si $\Delta=0$. Or,
\begin{align*}
\Delta &= b^2-4ac\\
& = \big[2(3m+1)\big]^2 - 4\times(m+3)\times(m+3)\\
& = 4(3m+1)^2 - 4(m+3)^2\\
& = 4\big[ \underbrace{(3m+1)^2}_{=A^2} - \underbrace{(m+3)^2}_{=B^2} \big] &   A^2-B^2=(A-B)(A+B)\\
& = 4\big[ (3m+1)-(m+3) \big] \big[ (3m+1) + (m+3) \big]\\
& = 4(3m+1-m-3)(3m+1+m+3)\\
& = 4(2m-2)(4m+4)
\end{align*}

Ainsi,
\begin{align*}
\Delta=0 & \iff 4(2m-2)(4m+4)=0\\
& \iff 2m-2=0 \qquad \text{ou}\qquad 4m+4=0\quad\text{(théorème du produit nul)}\\
& \iff 2m = 2\qquad\text{ou}\qquad 4m=-4\\
& \iff m=1 \qquad\text{ou}\qquad m=-1.
\end{align*}

\underline{Par conséquent, le trinôme admet une racine double pour $m=1$ ou $m=-1$.}

\bigskip

Dans un tel cas, la racine double est égale à :
\[
\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2(3m+1)}{2(m+3)}=-\dfrac{3m+1}{m+3}.
\]
Ainsi,
\begin{itemize}
\item pour $m=1$, la racine double vaut $\alpha=\dfrac{3\times1+1}{1+3}=-1$,
\item pour $m=-1$, la racine double vaut $\alpha=-\dfrac{3\times(-1)+1}{-1+3}=1$.
\end{itemize}
