
\begin{enumerate}
\item Pour $m=0$, on a :
\[
(E_0)\qquad:\qquad x^2-x-4=0
\]

Le discriminant du polyn\^ome $x^2-x-4$ est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = (-1)^2-4\times1\times(-4)\\
& = 1+16\\
& = 17.
\end{align*}

\newpage

Ainsi, $\Delta>0$ donc il y a deux solutions à l'équation $(E_0)$ qui sont :

\[
\alpha = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}
\qquad
\text{et}
\qquad
\beta = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}.
\]

L'ensemble solution de $(E_0)$ est donc :
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}~;~\dfrac{1+\sqrt{17}}{2} \right\}}
\]

\item L'équation $(E_m)$ admet une unique solution lorsque le discriminant du membre de gauche est égal à 0. Ce discriminant est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = (m-1)^2-4(2m+1)(m+4)(m-1)\\
& = (m-1)\big[(m-1)-4(2m+1)(m+4)\big]\\
& = (m-1)\big[m-1-4(2m^2+8m+m+4)\big]\\
& = (m-1)(m-1-8m^2-36m-16)\\
& = (m-1)(-8m^2-35m-17).
\end{align*}
\begin{align*}
\Delta=0 & \Longleftrightarrow m-1=0\qquad\text{ou}\qquad-8m^2-35m-17=0\\
& \Longleftrightarrow m=1\qquad\qquad\text{ou}\qquad8m^2+35m+17=0
\end{align*}

Le discriminant du polyn\^ome $8m^2+35m+17$ est :
\[ \delta=35^2-4\times8\times17=681\;,\]
donc ce polyn\^ome admet deux racines :

\[
m_1 = \dfrac{-35-\sqrt{681}}{16}\qquad\text{et}\qquad m_2=\dfrac{-35+\sqrt{681}}{16}.\]

Ainsi, l'équation $(E_m)$ admet une unique solution pour trois valeurs de $m$ :
\[ m=1\qquad ; \qquad m=\dfrac{-35-\sqrt{681}}{16}\qquad ; \qquad m=\dfrac{-35+\sqrt{681}}{16}.\]

\item $(E_m)$ admet 1 pour solution si, en remplaçant $x$ par 1 dans l'équation, l'égalité est vérifiée :

\begin{align*}
\text{1 est solution de }(E_m) & \Longleftrightarrow (2m+1)\times1^2+(m-1)\times1+(m+4)(m-1)=0\\
& \Longleftrightarrow 2m+1+m-1+m^2-m+4m-4=0\\
& \Longleftrightarrow m^2+6m-4=0.
\end{align*}

Le discriminant du polyn\^ome $m^2+6m-4$ est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = 6^2-4\times1\times(-4)\\
& = 36+16\\
& = 52.
\end{align*}

Il existe donc deux solutions à l'équation $m^2+6m-4=0$ :

\[
m_1=\dfrac{-6-\sqrt{52}}{2}=-3-\sqrt{13}\qquad\text{et}\qquad m_2=-3+\sqrt{13}.
\]

\underline{Ainsi, $x=1$ est solution de l'équation $(E_m)$ pour $m=-3+\sqrt{13}$ et pour $m=-3-\sqrt{13}$.}
\end{enumerate}
