
\medskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $x_1=2$ est une racine évidente car $P(2)=2 \times 2^2 + 2 - 10 = 8+2-10=0$, donc la seconde racine est $x_2$ telle que:
\[
x_1x_2=\frac{c}{a} \iff 2x_2=\frac{-10}{2} \iff x_2=-\frac{5}{2}.
\]
\item L'axe de symétrie de la parabole d'équation $y=P(x)$ a pour équation:
\[
x = \dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{2-\frac{5}{2}}{2}=-\dfrac{1}{4}.
\]
\begin{rem}
On aurait aussi pu dire que l'axe de symétrie passe par le sommet de la parabole, qui a pour abscisse $x_S = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\times2}=-\dfrac{1}{4}$.
\end{rem}
\end{enumerate}

\item Le tableau de signe de $P$ est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$P(x)$/0.5}{$-5$,$-\frac{1}{4}$,$2$,3}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
En effet, $P(x)$ est du signe de $a=2$, donc positif, aux infinis.
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item  La tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$ est horizontale, donc elle admet pour coefficient directeur 0. Ainsi, $f'(2)=0$.

\item $f'(x)<0$ sur les intervalles de $x$ où la fonction $f$ est strictement décroissante, donc sur \intervOO{-2,5}{2}.

\item $f=u \times v$ avec:\hspace*{1cm} $\begin{aligned}[t]
u = 4x^2-14x+8 & \qquad v = \e^{0,5x}\\
u' = 8x-14 & \qquad v'=0,5\e^{0,5x}
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = u'v + uv'\\
& = (8x-14)\e^{0,5x} + 0,5(4x^2-14x+8)\e^{0,5x}\\
& = (8x-14+2x^2-7x+4)\e^{0,5x}\\
& = (2x^2+x-10)\e^{0,5x}\\
& = P(x)\e^{0,5x}.
\end{align*}

\item $f'(x)$ est du signe de $P(x)$ car $\e^{0,5x}>0$ sur \intervFF{-5}{3}, d'où le tableau suivant (en utilisant le tableau de signe de $P(x)$ trouvé dans la partie A):
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node [inner sep = 0pt , outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.5,color,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-5$,$-\frac{1}{4}$,$2$,3}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/,+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
