

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x\sqrt x$ et $v(x)=x^2+1$.

$u$ est une fonction produit $gh$ avec $g(x)=x$ et $h(x)=\sqrt x$, donc $u=g'h+h'g$. Ainsi,
\begin{align*}
u'(x) & =1\times\sqrt x+x\times\dfrac{1}{2\sqrt x}\\
& =\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt x}\\
& = \sqrt x+\dfrac{\sqrt x}{2}\\
& = \dfrac{3}{2}\sqrt x
\end{align*}

On a alors :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{\frac{3}{2}\sqrt x(x^2+1)-x\sqrt x\times2x}{(x^2+1)^2}\\
& = \dfrac{3\sqrt x(x^2+1)-4x^2\sqrt x}{2(x^2+1)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{\sqrt x(3-x^2)}{2(x^2+1)^2}}
\end{align*}

\item $2(x^2+1)^2>0$ et $\sqrt x\geqslant0$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$. Par conséquent, $f'(x)$ est du signe de $3-x^2$, polynôme de degré 2 admettant pour racines $\sqrt3$ et $-\sqrt3$ et dont le coefficient de $x^2$ est négatif, d'où le tableau page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$\sqrt3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-,z}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'équation réduite d'une tangente est donnée par la formule $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, avec ici $a=1$.

$f(a)=\dfrac{1}{2}$ et $f'(a)=\dfrac{1}{4}$ donc l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1 est :
\[
y=\dfrac{1}{4}(x-1)+\dfrac{1}{2}
\]
soit $\boxed{y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}}$
\end{enumerate}
