
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=3 \times x^2 + 7 \times 2x + 11 \times 1 - 0$, donc \underline{$f'(x)=3x^2+14x+11$.}

\item $3x^2+14x+11$ est un polynôme de degré 2, dont le discriminant est:
\[
\Delta=b^2-4ac=14^2-4\times3\times11=64.
\]
Ses deux racines sont alors:
\[
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-14-\sqrt{64}}{2\times3}=-\dfrac{11}{3}
\]
et
\[
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-14+\sqrt{64}}{2\times3}=-1.
\]
Le polynôme est du signe de $a$ à l'extérieur de ses racines sont $3x^2+14x+11>0$ si $x\in\intervOO{-\infty}{-\dfrac{11}{3}}\cup\intervOO{-1}{+\infty}$.

On en déduit le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$-\frac{11}{3}$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/,+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a=1$ est :
\[
y = f'(1)(x-1)+f(1).
\]
Or,
\[
f'(1)=3\times1^2+14\times1+11=28
\]
et
\[
f(1)=1^3+7\times1^2+11\times1-19=0
\]
Donc l'équation réduite de la tangente est:
\[
y=28(x-1)+0
\]
soit:
\[
\boxed{ y = 28x - 28 }
\]

\item $f(1)=0$ donc 1 est bien solution de l'équation $f(x)=0$.

De plus,
\begin{align*}
(x-1)(x^2+8x+19) & = x^3+8x^2+19x-x^2-8x-19\\
& = x^3 +7x^2 +11x-19\\
& = f(x).
\end{align*}

\item Le discriminant de $x^2+8x+19$ est:
\[
\Delta=8^2-4\times1\times19=-12.
\]
Le discriminant étant strictement négatif, $x^2+8x+19>0$ (signe du coefficient de $x^2$). Par conséquent, $f(x)$ est du signe de $x-1$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
