
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
C_m(q) & = C'(q)\\
& = \dfrac{1}{3}\times3q^2-16\times2q+266\\
\Aboxed{C_m(q) & = q^2-32q+266}
\end{aligned}$

\item Le discriminant de $C_m(q)$ est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = (-32)^2-4\times1\times266\\
& = -40.
\end{align*}
Ainsi, $C_m(q)>0$ sur $\R$, et donc sur \intervFF{0}{40}, ce qui signifie que la fonction $C$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{40}.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
C_M(q) & = \dfrac{C(q)}{q}\\[8pt]
\Aboxed{C_M(q) & = \dfrac{1}{3}q^2-16q+266+\dfrac{10}{q}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
C_M^\prime(q) & =\dfrac{2}{3}q-16-\dfrac{10}{q^2} = \dfrac{\frac{2}{3}q^3-16q^2-10}{q^2}\\[8pt]
\Aboxed{C_m^\prime(q)& = \dfrac{2q^3-48q^2-30}{3q^2}}
\end{aligned}$

\item D'après ce qui est admis dans l'énoncé, on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$C_M'(q)$/0.5,$C_M(q)$/1}{0,$q_0$,40}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/$C_M(q_0)$,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $C_M(q_0)\approx C_M(24,026)\approx74$.

$C_m(q_0)\approx74$.

On constate alors que $C_M(q_0)=C_m(q_0)$.

On dit ici que l'\emph{optimum technique} est atteint pour une quantité $q_0$ produite.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
B(q) & = 300q-C(q)\\
& = 300q-\left(\dfrac{1}{3}q^3-16q^2+266q+10\right)\\
& = 300q-\dfrac{1}{3}q^3+16q^2-266q-10\\
\Aboxed{B(q) & = -\dfrac{1}{3}q^3+16q^2+34q-10}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
B'(q) & = -\dfrac{1}{3}\times3q^2+16\times2q+34\\
& = -q^2+32q+34.
\end{aligned}$

Le discriminant de $B'(q)$ est :
\begin{align*}
\Delta & = 32^2-4\times(-1)\times34\\
& = \numprint{1160}>0
\end{align*}
Il admet donc deux racines :
\begin{align*}
q_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} &\qquad q_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\[8pt]
q_1=\dfrac{-32-\sqrt{\numprint{1160}}}{2\times(-1)} & \qquad q_2=\dfrac{-32+\sqrt{\numprint{1160}}}{2\times(-1)}\\[8pt]
q_1=16+\sqrt{290}\approx33,029 & \qquad q_2=16-\sqrt{290}\approx-1,029
\end{align*}
On a alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,deltacl=1.5]{$x$/0.5,$B'(q)$/0.5,$B(q)$/1}{0,$q_1$,40}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\uline{Le bénéfice est donc maximal pour environ 33 tonnes, et est alors à peu près égal à \numprint{33517} \euro.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
