
\begin{enumerate}
\item La dérivée de $C(q)$ est:
\begin{align*}
C'(q) & = 0 + 0,1\times1 + 250\times\left(-\dfrac{1}{q^2}\right)\\
& = 0,1 - \dfrac{250}{q^2}\\
& = \dfrac{0,1q^2-250}{q^2}\\
& = \dfrac{0,1(q^2-\numprint{2500})}{q^2}\\
& = \dfrac{\frac{1}{10}(q^2-\numprint{2500})}{q^2}\\
\Aboxed{C'(q) & = \dfrac{q^2-\numprint{2500}}{10q^2}}
\end{align*}

\item $C'(q)$ est du signe de $q^2-\numprint{2500}$ car $10q^2>0$. De plus,
\begin{align*}
q^2-\numprint{2500} & = q^2-50^2\\
& = (q-50)(q+50)
\end{align*}

Les deux racines de $q^2-\numprint{2500}$ sont donc $-50$ et $+50$, d'où le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,deltacl=1.5]{$q$/0.5,$C'(q)$/0.7, $C$/1}{1,50,100}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\underline{Le coût de production est donc minimal pour $q_0=50$ radiateurs fabriqués.}

\item $\begin{aligned}[t]
CM(q) & = \dfrac{C(q)}{q}\\
& = \dfrac{10}{q}+0,1+\dfrac{250}{q^2}\\
& = \dfrac{10q+0,1q^2+250}{q^2}\\
& = \dfrac{0,1q^2+10q+250}{q^2}.
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $CM$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u = 0,1q^2+10q+250$

$u' = 0,2q+10$

$v = q^2$

$v'=2q$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
CM'(q) & = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}(q)\\
       & = \dfrac{(0,2q+10)q^2 - 2q(0,1q^2+10q+250)}{(q^2)^2}\\
       & = \dfrac{0,2q^3+10q^2-0,2q^3-20q^2-500q}{q^4}\\
       & = \dfrac{-10q^2-500q}{q^4}\\
       & = \dfrac{-q(10q+500)}{q\times q^3}\\
\Aboxed{CM'(q) & = -\dfrac{10q+500}{q^3}}
\end{align*}

\item $q>0$ donc $CM'(q)<0$. Par conséquent, $CM$ est une fonction décroissante sur \intervFF{10}{100}. Le coût moyen de production est donc minimal pour $q=100$, donc deux fois plus que $q_0$.

\item $B(q)$ est exprimé en \textit{millier} d'euros. Il faut donc exprimer le prix de revient en millier d'euros aussi. Un radiateur est vendu 350 \euro, donc 0,35 millier d'euros.
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
B(q) & = 0,35q - C(q)\\
& = 0,35q - \left(10+0,1q+\dfrac{250}{q}\right)\\
& = 0,35q - 10 - 0,1q - \dfrac{250}{q}\\
\Aboxed{B(q) & = 0,25q-10-\dfrac{250}{q}}
\end{aligned}$
\newpage
\item
\begin{itemize}
\item $B(q_0)=B(50)=0,25\times50-10-\dfrac{250}{50}=-2,5$.
\item $B(100)=0,25\times100-10-\dfrac{250}{100}=12,5$.
\end{itemize}

Il est donc immédiat de remarquer que l'entreprise doit fabriquer 100 radiateurs pour avoir un bénéfice maximal, même si le coût de production n'est pas minimal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
