
Pour connaître l'aire coloriée, il nous faut au moins connaître $IH$.

D'après le théorème de Thalès, dans la configuration croisée où $[DM]$ et $[GH]$ se coupent en $I$,
\[
\dfrac{IM}{ID}=\dfrac{IH}{IG}=\dfrac{IH}{4-IH}.
\]
De plus, dans la configuration croisée où $[DM]$ et $[AC]$ se coupent en $I$,
\[
\dfrac{IM}{ID}=\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{x}{4}.
\]
Ainsi,
\[
\dfrac{IH}{4-IH}=\dfrac{x}{4}\qquad\text{soit}\qquad 4IH=x(4-IH).
\]
Ainsi,
\[
4IH+xIH=4x
\]
et donc:
\[
IH=\dfrac{4x}{4+x}.
\]
Ainsi l'aire du triangle $IAM$ est:
\[
\dfrac{IH \times AM}{2}=\dfrac{2x^2}{4+x}.
\]
De plus, l'aire du triangle $CID$ est:
\[
\dfrac{IG \times DC}{2}=2(4-IH)=8-\dfrac{8x}{4+x}.
\]
L'aire coloriée est donc:
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{2x^2}{4+x}+8-\dfrac{8x}{4+x}\\
& = \dfrac{2x^2-8x+8(4+x)}{4+x}\\
& = \dfrac{2x^2+32}{4+x}.
\end{align*}
La dérivée de $f(x)$ est:
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{4x(4+x)-(2x^2+32)\times1}{(4+x)^2}\\
& = \dfrac{16x+4x^2-2x^2-32}{(4+x)^2}\\
& = \dfrac{2x^2+16x-32}{(x+4)^2}.
\end{align*}
Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x^2+16x-32$, polynôme du second degré dont le discriminant vaut :
\[
\Delta=16^2-4\times2\times(-32)=512.
\]
Donc les racines de ce dernier sont:
\[
x_1=\dfrac{-16-\sqrt{512}}{4}<0\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-16+\sqrt{512}}{4}=-4+4\sqrt2\approx1,66.
\]
On a alors le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{0,$x_2$,4}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

Ainsi, l'aire colorée est donc minimale pour $x=4\sqrt2-4$.
