
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item $f(0)=-1$ ;
\item $f(2)=1$ ;
\item $f'(2)=0$ car la fonction atteint un maximum pour $x=2$ ;
\item $f(4)=-1$ ;
\item $f'(4)=-2$ (coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4).
\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item $f(0)=a\times0^2+b\times0+c=c$ ; donc $c=-1$ d'après la question précédente (1\ier{} point).

\item $f'(x)=2ax+b$ et $f'(2)=4a+b$ ; donc $4a+b=0$, soit $b=-4a$.

\item $f(2)=1$ donc $4a+2b-1=1$, soit $-b+2b=2$ d'après le point précédent. Ainsi, $b=2$.

\item $f'(4)=8a+b=-2$ donc $8a=-4$, soit $b=-\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}

\underline{Finalement, on a : $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x-1$.}

\item L'abscisse des points A et B sont les solutions de l'équation $f(x)=0$.

\[ \Delta=2^2-4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times(-1)=4-2=2.\]
Ainsi,

\begin{multicols}{2}
\[ x_B=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[ x_B=\dfrac{-2-\sqrt{2}}{-1}\]
\[ \underline{x_B=2+\sqrt{2}}\]

\columnbreak

\[ x_A=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[ x_A=\dfrac{-2+\sqrt{2}}{-1}\]
\[ \underline{x_A=2-\sqrt{2}}\]
\end{multicols}
\end{enumerate}
