
\begin{enumerate}
\item $f(0)=d$. Or, $A\coord{0}{-2}\in\mathcal{C}$.

Par conséquent, $d=-2$.

\item Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ est égal à $f'(0)$.

$A\coord{0}{-2}$ et le point $D\coord{2}{-1}$ sont sur cette tangente, donc son coefficient directeur vaut:
\[
\dfrac{y_D-y_A}{x_D-x_A}=\dfrac{-1-(-2)}{2-0}=\dfrac{1}{2}.
\]
Or,
\[
f'(x) = 3ax^2+2bx+c
\]
donc
\[
f'(0) = c = \dfrac{1}{2}.
\]

À ce stade, nous avons:
\[
f(x) = ax^3+bx^2+\dfrac{1}{2}x-2.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
B\coord{-2}{2} \in\mathcal{C} \iff f(-2) = 2\\
& \iff a\times(-2)^3 + b\times(-2)^2 + \dfrac{1}{2}\times(-2)-2 = 2\\
& \iff -8a+4b-3=2\\
& \iff -8a + 4b = 5.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
C\coord{2}{-4} \in \mathcal{C} & \iff f(2)=-4\\
& \iff a\times(2)^3 + b\times(2)^2 + \dfrac{1}{2}\times(2)-2 = -4\\
& \iff 8a+4b-1=-4\\
& \iff 8a + 4b = -3.
\end{aligned}$

\item $a$ et $b$ sont donc solutions du système:
\[
\systeme[autonum code = L_{*}]{-8a+4b=5,8a+4b=-3}
\]
\begin{itemize}
\item En faisant $(L_1)+(L_2)$, on obtient :
\[
8b=2\qquad\text{soit}\qquad b=\dfrac{1}{4};
\]
\item En faisant $(L_2)-(L_1)$, on obtient:
\[
16a=-8\qquad\text{soit}\qquad a = -\dfrac{1}{2}.
\]
\end{itemize}
Finalement,
\[
f(x) = -\dfrac{1}{2}x^3 + \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{1}{2}x - 2.
\]

\newpage

\item $f'(x)=-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$ donc:
\begin{itemize}
\item $f'(-2)=-\dfrac{3}{2}\times(-2)^2 + \dfrac{1}{2}\times(-2) + \dfrac{1}{2} = -6 -1+\dfrac{1}{2} = -\dfrac{13}{2}$;
\item $f'(2)=-\dfrac{3}{2}\times(2)^2 + \dfrac{1}{2}\times(2) + \dfrac{1}{2} = -6 +1+\dfrac{1}{2} = -\dfrac{9}{2}$.
\end{itemize}

\medskip

Ainsi, $f'(-2) \neq f'(2)$. Les tangentes à $\mathcal{C}$ en $B$ et $C$ n'ont donc pas le même coefficient. Par conséquent, elles ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}
