
En procédant ainsi, l'archéologue dispose en tout sur la balance:
\[
1+2+3+\cdots+73=\dfrac{73\times74}{2}=\numprint{2701}\text{ pièces}.
\]

Si les pièces pesaient toutes 5 g, cela représenterait une masse totale égale à :
\[
\numprint{2701}\times 5 = \numprint{13505}\text{ g.}
\]
Mais certaines pièces ne pèsent que 4,5 g.

\bigskip

Supposons qu'elles soient extraites du sac $k$, pour $1 \leqslant k \leqslant 73$. La masse totale est alors égale, en grammes, à :
\begin{align*}
& 1\times5 + 2\times5 + \cdots + {\color{red} k\times 4,5} + \cdots + 73 \times 5\\[6pt]
=\ & 1\times5 + 2\times5 + \cdots + {\color{red} 5k-0,5k} + \cdots + 73 \times 5\\[6pt]
=\ & 1\times5 + 2\times5 + \cdots + {\color{red} k\times 5} + \cdots + 73 \times 5 {\color{red} -0,5k}\\[6pt]
=\ & \numprint{13505} - 0,5k.
\end{align*}

Ainsi, comme la balance indique une masse de \numprint{13489} grammes, on a :
\begin{align*}
 \numprint{13505} - 0,5k = \numprint{13489} & \iff 0,5k =  \numprint{13505} -\numprint{13489}\\
 & \iff 0,5k = 16\\
 & \iff k = \dfrac{16}{0,5}=32.
 \end{align*}

\underline{Le 32\ieme{} sac contient donc les pièces de 4,5 grammes}.
