
\begin{enumerate}
\item Chaque jour, ma vue baisse de \pourcent{0,001}. $u_n$ désigne ma note aux yeux au jour $n$.

Alors,
\[ u_{n+1}=99,999u_n.\]

\underline{\suite{u}{n}{} est donc une suite géométrique de raison $q=99,999$.}

\item Ma mère me donne 10 \euro, puis me dit : \og chaque mois, je te donnerai 10 \euro \fg. $u_n$ représente la somme que j'ai reçu en $n$ mois, pour $n\geqslant1$.

Alors,
\[ u_{n+1}=u_n+10.\]

\underline{\suite{u}{n}{} est donc une suite arithmétique de raison $r=10$.}

\item Je remplis d'eau une bouteille d'un litre à moitié. Chaque minute, ce qui restait la minute précédente est rempli à moitié. $u_n$ représente la proportion de la bouteille qui est remplie la $n$\ieme{} minute, $n\geqslant1$.

Alors,
\[ u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{2}\big(1-u_n\big)=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}.\]

\underline{\suite{u}{n}{} n'est donc ni arithmétique ni géométrique.}

\item Je place \numprint{1000} \euro{} sur un compte qui me rapporte \pourcent{0,75} chaque année. $u_n$ représente le solde de ce compte (si je ne prélève rien) à l'année $n$, $n\geqslant0$, avec $u_0=\numprint{1000}$.

Alors,
\[ u_{n+1}=1,075u_n.\]

\underline{\suite{u}{n}{} est donc une suite géométrique de raison $q=1,075$.}

\item Paul et Pierre sont à 20 mètres l'un de l'autre, Pierre étant derrière Paul. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. $u_n$ représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la $n$\ieme{} étape, $n\geqslant0$, avec $u_0=20$.

D'une étape à l'autre, si Paul avance de deux mètres, la distance qui le sépare de Pierre s'agrandit de deux mètres, mais si Pierre avance d'un mètre, elle se réduit d'un mètre. Au final, elle s'agrandit d'un mètre. Mais attention ! $u_n$ est une distance donc :
\[ u_{n+1}=\big\vert u_n+1\big\vert.\]
Ici, $u_n+1>0$ pour tout $n$ (c'est assez intuitif) donc on peut enlever les valeurs absolues. Finalement, on a :
\[ u_{n+1}=u_n+1.\]

\underline{\suite{u}{n}{} est donc arithmétique de raison $r=1$.}

\item Paul et Pierre sont à 20 mètres l'un de l'autre, Paul étant derrière Pierre. Quand Pierre fait un pas en avant, Paul en fait deux. $u_n$ représente la distance (en mètre) entre Paul et Pierre à la $n$\ieme{} étape, $n\geqslant0$, avec $u_0=20$.

D'une étape à l'autre, si Paul avance de deux mètres, la distance qui le sépare de Pierre se réduit de deux mètres, mais si Pierre avance d'un mètre, elle s'agrandit d'un mètre. Au final, elle se réduit d'un mètre. Mais attention ! $u_n$ est une distance donc :
\[ u_{n+1}=\big\vert u_n-1\big\vert.\]
On ne peut pas ici enlever les valeurs absolues car $u_n-1$ sera négatif au-delà d'un certain rang.

\underline{Par conséquent, \suite{u}{n}{} n'est ni arithmétique ni géométrique.}
\end{enumerate}
