
\begin{enumerate}
\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_k+(n-k)r$.

Ainsi, $u_{10}=u_2+(10-2)r$, soit $-3=8+(10-2)r$. On obtient alors $r=\dfrac{-3-8}{10-2}=-\dfrac{11}{8}$.

On peut alors écrire :
\begin{align*}
u_n & =u_2+(n-2)r\\
u_n & =8-\dfrac{11}{8}(n-2)\\
& =8-\dfrac{11}{8}n+\dfrac{11}{4}\\
\Aboxed{u_n& = \dfrac{43}{4}-\dfrac{11}{8}n}
\end{align*}

\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_k+(n-k)r$.

Ainsi, $u_8=u_0+8r$, soit $10=-6+8r$. On obtient alors $r=\dfrac{10+6}{8}=2$.

On peut alors écrire :
\begin{align*}
u_n & =u_0+nr\\
\Aboxed{u_n & =-9+2n}
\end{align*}

\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est géométrique donc $u_n=u_0\times q^n$, soit $u_2=u_0\times q^8$. Ainsi, $10=90\times q^2$, soit $q^2=\dfrac{1}{9}$.

Par conséquent, $q=\dfrac{1}{3}$ ou $q=-\dfrac{1}{3}$.

Il existe donc deux suites géométriques, chacune de premier terme $u_0=90$, l'une de raison $\dfrac{1}{3}$ et l'autre de raison $-\dfrac{1}{3}$.

\item On constate que $u_n=u_{n-1}+4$, donc \suite{u}{n}{n\geqslant1} est une suite arithmétique de raison $r=4$.

Ainsi, la somme des 20 premiers termes est :
\begin{align*}
u_1+u_2+\cdots+u_{20} & = (\text{nombre de termes dans la somme}) \times \dfrac{\text{1\ier{} terme}+\text{dernier terme}}{2}\\
& = 20\times\dfrac{1+(u_1+(20-1)\times4)}{2}\\
& = 20\times\dfrac{1+(1+19\times4)}{2}\\
& = 20\times\dfrac{78}{2}\\
& = 780.
\end{align*}

Le nombre total d'allumettes qu'il faut pour faire 20 étages correspond à la somme des 20 premiers termes de la suite \suite{u}{n}{n\geqslant1}, donc il faut 780 allumettes.

\item

\begin{enumerate}
\item $u_{n+1}=3u_n-\dfrac{1}{3}u_n=\left(3-\dfrac{1}{3}\right)u_n=\dfrac{8}{3}u_n$ donc $u_{n+1}$ est de la forme $qu_n$ donc c'est le terme général de la suite géométrique de raison $q=\dfrac{8}{3}$ et de premier terme $u_0=1$.

\item $u_{n+1}=\dfrac{1}{10}u_n$ donc $u_{n+1}$ est de la forme $qu_n$ avec $q=\dfrac{1}{10}$. Il définit donc une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{10}$ et de premier terme $u_0=1$.

\item $u_n=3+4(n-1)=3+4n-4=-1+4n$ donc $u_n$ est de la forme $u_0+nr$ avec $u_0=-1$ et $r=4$. C'est donc le terme général d'une suite arithmétique de raison $r=4$ et de premier terme $u_0=-1$.

\item $u_{n+1}=u_n+1$ donc c'est de la forme $u_{n+1}=u_n+r$. $u_n$ est donc le terme général d'une suite arithmétique de raison $r=1$ et de premier terme $u_0=2$.

\item $u_{n+1}=3u_n-5$ n'est pas de la forme $u_n+r$ ou $qu_n$ donc $u_n$ n'est pas un terme général d'une suite arithmétique ou géométrique.
\end{enumerate}

\item Appelons $r_n$ le rayon du disque ajouté à l'étape $n$ et $a_n$ l'aire du disque de rayon $r_n$.

Alors, $r_{n+1}=\dfrac{1}{2}r_n$. Donc \suite{r}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.	

L'aire du disque ajouté à l'étape $n$ est $a_n=\pi \times r_n=\dfrac{5\pi}{2^{n-1}}$.

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\pi\times r_{n+1}}{\pi \times r_n}=\dfrac{r_{n+1}}{r_n}=q$ donc \suite{a}{n}{} est aussi une suite géométrique de raison $q$.

L'aire totale des disques (en cm$^2$) à l'étape 10 est donc :
\begin{align*}
a_1+a_2+\cdots+a_{10} & = (\text{1\ier{} terme})\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\\
& = 25\pi\times\dfrac{1-\frac{1}{2^{10}}}{1-\frac{1}{2}}\\& = 50\pi\times\left(1-\dfrac{1}{2^{10}}\right)\\
& = 50\pi\left(1-\dfrac{1}{1024}\right)\\
& = 50\pi\times\dfrac{1023}{1024}\\
& = \dfrac{25575\pi}{512}\\
& \approx 157.
\end{align*}
L'aire totale est donc environ égale à 157 cm$^2$.
\end{enumerate}
