
\begin{enumerate}
\item On calcule pour tout entier naturel $n$ :
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n & = \dfrac{2(n+1)+1}{(n+1)+1}-\dfrac{2n+1}{n+2}\\
& = \dfrac{2n+3}{n+3}-\dfrac{2n+1}{n+2}\\
& = \dfrac{(2n+3)(n+2)}{(n+3)(n+2)}-\dfrac{(2n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}\\
& = \dfrac{3}{(n+2)(n+3)}.
\end{align*}
$n+2>0$ et $n+3>0$ car $n\in\N$ donc $u_{n+1}-u_n>0$.

\underline{La suite $\suite{u}{n}{}$ est donc croissante.}

\item Si la suite \suite{u}{n}{} est majorée par 2, alors $u_n<2$ donc $u_n-2<0$ pour tout $n\in\N$.
\begin{align*}
u_n-2 & = \dfrac{2n+1}{n+2}-2\\[8pt]
& = \dfrac{2n+1}{n+2}-\dfrac{2(n+2)}{n+2}\\[8pt]
& = \dfrac{2n+1-2n-4}{n+2}\\[8pt]
& = \dfrac{-3}{n+2}.
\end{align*}
$-3<0$ et $n+2>0$ donc $u_n-2<0$, soit $u_n<2$.

\medskip

\underline{Donc la suite est majorée par 2.}

\item La suite est croissante donc, nécessairement, $u_n\geqslant u_0$ pour tout entier naturel $n$, soit $u_n \geqslant\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\underline{La suite est donc minorée par $\dfrac{1}{2}$.}
\end{enumerate}
