
\begin{enumerate}
\item \label{q1-03-suites-20}
\begin{enumerate}
\item \label{q1a-03-suites-20}Calculons :
\begin{align*}
w_{n+1} & = au_{n+1}+bv_{n+1} = a(0,55u_n+0,35v_n) + b(0,45u_n+0,65v_n)\\
& = (0,55a+0,45b)u_n + (0,35a+0,65b)v_n.
\end{align*}

\suite{w}{n}{} est une suite géométrique de raison $q$ donc $w_{n+1}=qw_n$ ; par conséquent,
\[
(0,55a+0,45b)u_n + (0,35a+0,65b)v_n=qau_n+qbv_n\;,
\]
et donc :
\[
\boxed{
\left\{
\begin{array}{l}
0,55a+0,45b=aq\\
0,35a+0,65b=bq
\end{array}
\right.
}
\]

\item Du système précédent, on déduit :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0,45b=qa-0,55a\\
0,35a=qb-0,65b
\end{array}
\right.
\qquad
\text{soit}
\qquad
\boxed{
\left\{
\begin{array}{l}
b=\dfrac{q-0,55}{0,45}a\\[6pt]
a=\dfrac{q-0,65}{0,35}b
\end{array}
\right.
}
\]

\item En remplaçant $a$ par $\dfrac{q-0,65}{0,35}b$ dans la première équation, on a :
\begin{align*}
b=\dfrac{q-0,55}{0,45}\times\dfrac{q-0,65}{0,35}b
& \Leftrightarrow 1=\dfrac{q-0,55}{0,45}\times\dfrac{q-0,65}{0,35}\quad (b\neq0)\\
& \Leftrightarrow 0,45\times0,35=(q-0,55)(q-0,65)\\
& \Leftrightarrow 0,1575 = q^2-0,65q-0,55q+0,3575\\
& \Leftrightarrow \boxed{q^2-1,2q+0,2=0}
\end{align*}

\item Le discriminant du polynôme $q^2-1,2q+0,2$ est :
\[
\Delta=(-1,2)^2-4\times1\times0,2=0,64
\]
donc il admet deux racines :
\[
q_1=\dfrac{1,2-\sqrt{0,64}}{2}=0,2\qquad\text{et}\qquad q_2=\dfrac{1,2+\sqrt{0,64}}{2}=1.
\]

\begin{itemize}
\item Pour $q=1$, le système de la question \ref{q1-03-suites-20}\ref{q1a-03-suites-20} devient :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0,55a+0,45b=a\\
0,35a+0,65b=b
\end{array}
\right.
\qquad\text{soit}\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
-0,45a+0,45b=0\\
0,35a-0,35b=0
\end{array}
\right.
\]
On en déduit alors que $\boxed{a=b}$.

\item Pour $q=0,2$, le système de la question \ref{q1-03-suites-20}\ref{q1a-03-suites-20} devient :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0,55a+0,45b=0,2a\\
0,35a+0,65b=0,2b
\end{array}
\right.
\qquad\text{soit}\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
0,355a+0,45b=0\\
0,35a+0,45b=0
\end{array}
\right.
\]
On en déduit alors que $\boxed{a=\dfrac{-0,45}{0,35}b=-\dfrac{9}{7}b}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour $c_n$, $a=b=1$ donc nous sommes dans le cas où $q=1$ : \suite{c}{n}{} est donc une suite constante.

Pour $g_n$, $a=9$ et $b=-7$, soit $a=-\dfrac{9}{7}b$ donc nous sommes dans le cas où $q=0,2$.

\item On en déduit que $\boxed{c_n=c_0=u_0+v_0=1}$ (car c'est une suite constante) et\linebreak$g_n=g_0\times q^n=(9u_0-7v_0)\times0,2^n$, soit $\boxed{g_n=9\times(0,2)^n}$.

\item On a :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
c_n=u_n+v_n\\
g_n=9u_n-7v_n
\end{array}
\right.
\qquad
\text{soit}
\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
1=u_n+v_n\\
9(0,2)^n=9u_n-7v_n
\end{array}
\right.
\]
En multipliant par 7 la première équation, on a :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
7=7u_n+7v_n\\
9(0,2)^n=9u_n-7v_n
\end{array}
\right.
\]
En ajoutant les deux équations membre à membre, on a :
\[
7+9(0,2)^n=16u_n \qquad \text{soit}\qquad \boxed{u_n=\dfrac{7+9(0,2)^n}{16}}
\]
De l'équation initiale $u_n+v_n=1$, on déduit alors :
\[
v_n=1-u_n=1-\dfrac{7+9(0,2)^n}{16}\qquad\text{soit}\qquad \boxed{v_n=\dfrac{9-9(0,2)^n}{16}}
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
