
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
u_n & = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\
& = \dfrac{\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)\big(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\big)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\quad\text{(on multiplie par l'expression conjuguée)}\\
& = \dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\
\Aboxed{u_n & = \dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}}
\end{aligned}$

\item $u_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$.

Or, $n+2>n$ donc $\sqrt{n+2}>\sqrt{n}$ et donc, en ajoutant $\sqrt{n+1}$ aux deux membres de cette dernière inégalité, on a
$\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}>\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$.

En inversant, on obtient : $\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ (attention à ne pas oublier d'inverser le signe de l'inégalité).

Ceci nous dit alors que $u_{n+1}<u_n$, et donc que \underline{\suite{u}{n}{} est décroissante}.

\item $\sqrt{n+1}\sqrt{n}>0$ donc $u_n>0$.

\underline{\suite{u}{n}{}est donc minorée par 0.}

\medskip

De plus, $\sqrt{n+1}\sqrt{n}\geqslant1$ (car $\sqrt{n+1}\geqslant1$ et $\sqrt{n}\geqslant0$) donc $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}\leqslant1$, soit $u_n\leqslant1$.

\underline{\suite{u}{n}{} est donc majorée par 1.}
\end{enumerate}
