
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$ donc $f'$ sera de la forme $-\dfrac{v'}{v^2}$ et donc :
\[
f'(t) = \dfrac{0,5\e^{-0,5t}}{\big(1+\e^{-0,5t}\big)^2}.
\]
Ainsi $f'(t)>0$ pour tout réel $t$, donc à plus forte raison pour $t\geqslant0$.

\uline{$f$ est donc croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.}

\item On peut s'aider du programme Python suivant :

\medskip

\begin{python}
# on importe la fonction exponentielle du module "math"
from math import exp

t = 0
while 1/(1+exp(-0.5*t)) <= 0.9:
    t += 0.1

print(t)
\end{python}

\medskip

On part de $t=0$ et on calcule l'image de $t$ tant que celle-ci est inférieure ou égale à \pourcent{90}, c'est-à-dire 0,9. Tant que cette image ne dépasse pas 0,9, on ajoute 0,1 à $t$.

\medskip

Le programme retourne alors la valeur \og 4,4 \fg; c'est donc au cours de la 4\ieme{} année que le taux dépassera \pourcent{90}.
\end{enumerate}

\begin{rem}
Si vous n'êtes pas à l'aise avec Python, vous pouvez utiliser la calculatrice en entrant la fonction $f(x)$, puis en dressant un tableau de valeurs, et ainsi voir à partir de quelle valeur de $x$ les valeurs sont inférieures à 0,9.
\end{rem}
