
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x)=0 & \iff (2x+1)\e^x = 0\\
& \iff 2x+1 = 0 \quad\text{ car }\e^x \neq0\\
& \iff x = -\dfrac{1}{2}
\end{aligned}$

Ainsi, le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées \coord{-\dfrac{1}{2}}{0}.

\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2x+1$

$u'(x)=2$

\columnbreak

$v(x)=\e^x$

$v'(x)=\e^x$
\end{multicols}

Donc:\vspace*{-1.5em}
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\\
& = 2\e^x + (2x+1)\e^x\\
& = (2+2x+1)\e^x\\
\Aboxed{f'(x) & = (2x+3)\e^x}
\end{align*}

\item $\e^x>0$ sur \R donc $f'(x)$ est du signe de $2x+3$, d'où le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac{3}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item
\begin{enumerate}
\item L'équation réduite de $(T)$ est:
\[ y = f'(0)(x-0)+f(0) \]
soit:
\[
\boxed{y = 3x+1}
\]
\item Sur le graphique donné, on constate que $\mathcal{C}_f$
 est toujours au-dessus de $(T)$, ce qui se traduit par :
 \[
 f(x) \geqslant 3x+1
 \]
 c'est-à-dire:
 \[
 (2x+1)\e^x \geqslant 3x+1.
 \]
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
