
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$,
\[
f'(x)=2\e^{2x}+6\e^x-8.
\]
Or,
\begin{align*}
2\big(\e^x-1\big)\big(\e^x+4\big) &  = 2\big(\e{2x}+4\e^x-\e^x-4\big)\\
& = 2\big(\e^{2x}+3\e^x-4\big)\\
& = 2\e^{2x}+6\e^x-8\\
& = f'(x).
\end{align*}

\underline{Donc $f'(x)=2\big(\e^x-1\big)\big(\e^x+4\big)$.}

\item $\e^x+4>0$ pour tout réel $x$ car $\e^x>0$ sur \R. De plus, $2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $\e^x-1$.
\[
\e^x-1>0 \iff \e^x > 1 \iff x > 0.
\]
On en déduit alors que $f'(x)> 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$ et $f'(x)<0$ sur $\intervOO{-\infty}{0}$.

\newpage

\item De la question précédente, on déduit le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/3,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

$f(0)=\e^{2\times0}+6\e^0-8\times0-4=1+6\times1-0-4=3$.

\item Du tableau de variations précédent, on peut déduire que $f(x)\geqslant3$ sur \R, donc $f(x)>0$.

\item Afin de savoir si $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$ ont un point en commun, on peut résoudre l'équation :
\begin{align*}
f(x) = -8x-4 & \iff \e^{2x}+6\e^x-8x-4=-8x-4\\
& \iff \e^{2x}+6\e^x=0\\
& \iff \e^x\big(\e^x+6\big)=0
\end{align*}
Cette dernière équation n'admet aucune solution; en effet, $\e^x>0$ donc $\e^x\neq0$ et\linebreak $\e^x+6>6$ (donc $\e^x+6\neq0$).

\medskip

\underline{Ainsi, la courbe et la droite n'ont aucun point d'intersection.}
\end{enumerate}
