
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}+\e^{x}-2\geqslant0 & \iff X^2+X-2\geqslant0\text{ avec $X=\e^x$}\\
& \iff (X-1)(X+2)\geqslant0\text{ (voir exercice 4 pour les racines)}\\
& \iff \big(\e^x-1\big)\big(\e^x+2\big)\geqslant0\\
& \iff \e^x-1\geqslant0\text{ (car }\e^x+2>0\text{ pour tout réel }x)\\
& \iff \e^x\geqslant1\\
& \iff x\geqslant0
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\intervFO{0}{+\infty}}$

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}-2\e^x+1\leqslant0 & \iff X^2-2X+1\leqslant0\text{ avec }X=\e^x\\
& \iff (X-1)^2\leqslant0\\
& \iff (X-1)^2=0\text{ car }(X-1)^2\text{ est toujours positif ou nul}\\
& \iff X=1\\
& \iff \e^x=1\\
& \iff x=0
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathcal{S}=\{0\}}$
\end{enumerate}
