
\begin{enumerate}
\item $f(x) = (3-2x)\e^{-x}$ est de la forme $f = u \times v$ avec:
\begin{multicols}{2}
$u(x) = 3-2x$

$u'(x)=-2$

\columnbreak

$v(x)=\e^{-x}$

$v'(x) = -\e^{-x}$
\end{multicols}
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v + v'u)(x)\\
f'(x) & = -2\e^{-x} -\e^{-x}(3-2x)
\intertext{On peut alors factoriser par $\e^{-x}$.}
f'(x) & = \big[(-2-(3-2x)\big]\e^{-x}\\
f'(x) & = (-2-3+2x)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = (2x-5)\e^{-x}}
\end{align*}

\item Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(2x-5)$.
\begin{align*}
2x-5 > 0 & \iff 2x > 5\\
& \iff x > \frac{5}{2}.
\end{align*}
D'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,$\frac{5}{2}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
