
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, $\begin{aligned}[t]
f(-x) & = 1 + \cos(-x) + \big[\sin(-x)\big]^2\\
      & = 1 + \cos(x) + \big[-\sin(x)\big]^2\\
      & = 1 + \cos(x) + \sin^2(x) = f(x).
\end{aligned}[t]$

Par conséquent, $f$ est paire. On peut alors déduire que la courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

\item Pour tout réel $x$,
\[
\cos(x+2\pi)=\cos(x)\qquad\text{et}\qquad\sin(x+2\pi)=\sin(x).
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f(x+2\pi) & = 1 + \cos(x+2\pi) + \sin^2(x+2\pi)\\
          & = 1 + \cos(x) + \sin^2(x)\\
          & = f(x).
\end{align*}
Par conséquent, $f$ est bien $2\pi$-périodique.

\medskip

Cela signifie qu'en traçant la représentation graphique de $f$ sur un\linebreak intervalle quelconque d'amplitude $2\pi$, et en en faisant les translations de vecteurs $2k\pi\vec{i}$, $k\in\Z^*$, on obtiendra la courbe représentative de $f$ sur \R.

\item Pour tout réel $x$,
\[
\sin^2(x)=1-\cos^2(x).
\]
Ainsi, pour tout réel $x$,
\begin{align*}
f(x)& = 1 + \cos(x) + \sin^2(x)\\
    & = 1 + \cos(x) + 1-\cos^2(x)\\
    & = -\cos^2(x) + \cos(x) + 2.
\end{align*}

\item D'après la question précédente,
\begin{align*}
f(x) = 0 & \iff -\cos^2(x) + \cos(x) + 2= 0\\
         & \iff -X^2 + X + 2 = 0,\quad\text{en posant }X=\cos(x).
\end{align*}
Une solution évidente est $X_1=-1$; par conséquent, la seconde solution est telle que:
\[
X_1X_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{-1} = -2.
\]
Ainsi,
\[
-1\times X_2 = -2 \iff X_2 = 2.
\]
On a alors:
\[
\begin{cases}
X_1 = \cos(x_1) = -1\\
X_2 = \cos(x_2) = 2 \longleftarrow \text{ impossible car }-1 \leqslant \cos(x_2) \leqslant1
\end{cases}
\]
On en déduit que sur $]-\pi;\pi]$, les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles :
\[
\cos(x) = -1 \iff x = \pi.
\]

\item D'après la question précédente, pour tout réel $X$,
\[
-X^2+X+2 = -(X+1)(X-2).
\]
Ainsi, en prenant $X = \cos(x)$, on a:
\[
f(x)=-\big(\cos( x) + 1\big)\big(\cos( x) - 2 \big).
\]
Or,
\begin{align*}
-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 & \iff \begin{cases}
 \cos (x) + 1 \geqslant 0\\
 \cos (x) - 2 \leqslant 0
\end{cases}\\[10pt]
&
\iff \begin{cases}
 -\big( \cos (x) + 1\big) \leqslant 0\\
 \cos (x) - 2 \leqslant 0
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi, $f(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}
