
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f(x)=\sin(x)-x$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est paire: pour le savoir, il faut avoir l'égalité $f(-x)=f(x)$ pour tout réel $x$ de \R (qui est centré en 0).

On a : $f(-x)=\sin(-x)-(-x)=-\sin(x)+x=-(\sin(x)-x)=-f(x)$.

\underline{$f$ est donc en effet paire.}
\end{enumerate}
Comme il n'y a qu'une bonne solution, on pourrait s'arrêter ici, mais je vais tout de même expliquer pourquoi les autres propositions sont fausses.

\begin{enumerate}[resume]
\item $f$ est impaire: si $f$ est paire, elle ne peut pas être impaire en même temps. Donc cette proposition est fausse.

\item Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$. On calcule:
\begin{align*}
f(x+2\pi) & = \sin(x+2\pi)-(x+2\pi)\\
& = \sin(x)-x-2\pi\\
& \neq f(x).
\end{align*}
Donc cette proposition est fausse.

\item Pour tout réel $x$, $f(x+\pi)=-f(x)$. On calcule:
\begin{align*}
f(x+\pi) & = \sin(x+\pi) - (x+\pi)\\
& = -\sin(x)-x-\pi\\
& \neq f(x).
\end{align*}
Donc cette proposition est fausse.
\end{enumerate}

\item Dans l'intervalle \intervOF{-\pi}{\pi}, l'équation $2\cos(x)-\sqrt{3}=0$ a pour solutions...

Ici, il vaut mieux résoudre directement l'équation:
\begin{align*}
2\cos(x)-\sqrt{3}=0 & \iff 2\cos(x)=\sqrt3\\
& \iff \cos(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}\\
& \iff \cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\
& \iff x = \dfrac{\pi}{6}\text{ ou }x=\dfrac{-\pi}{6}.
\end{align*}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq2aexqcm}

\item Le nombre réel $-\dfrac{3\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel...

\[
-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi=-\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}.
\]

$\dfrac{5\pi}{4}$ ne fait pas partie des propositions donc on ajoute encore $2\pi$:

\[
\dfrac{5\pi}{4}+2\pi=\dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{13\pi}{4}.
\]
La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq3aexqcm}

\item Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a pour image le point...

\[
\dfrac{14\pi}{3}=\dfrac{12\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}{3}.
\]
Donc $\dfrac{14\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ correspondent au même point sur le cercle trigonométrique, à savoir E.

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq4aexqcm}

\item Soit le réel $x$ appartenant à l'intervalle \intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi} tel que $\sin x = 0,8$. Alors...

On sait que $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ pour tout nombre réel $x$.

Donc, $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)=1-0,8^2 = 0,36$. Ainsi, $\cos(x)=-\sqrt{0,36}=-0,6$ ou\linebreak $\cos(x)=\sqrt{0,36}=0,6$.

Or, $x\in\intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$ donc $\cos(x)<0$. Donc $\cos(x)=-0,6$.

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq5bexqcm}

\item On considère dans l'ensemble des réels l'équation trigonométrique $\sin x = 1$.
\begin{enumerate}
\item Cette équation admet une unique solution dans l'ensemble des réels: faux car il existe plusieurs valeurs de $x$ pour lesquelles $\sin x=1$; par exemple $x=\dfrac{\pi}{2}$ ou $x=\dfrac{5\pi}{2}$.

\item Cette équation admet une infinité de solutions dans l'ensemble des réels: vraie. Toutes les valeurs de $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\Z$, sont solutions car elles correspondent toutes au point situé à $\dfrac{\pi}{2}$.

\item $2\pi$ est une solution de cette équation: certainement pas car $\sin(2\pi)=\sin(0)=0$.

\item $-\dfrac{57\pi}{2}$ est une solution de cette équation: faux. En effet,
\[
57 = 28\times2+1
\]
donc:
\[
-\dfrac{57\pi}{2}=-\dfrac{(28\times2+1)\pi}{2}=-28\pi-\dfrac{\pi}{2}
\]
ce qui signifie que $-\dfrac{57\pi}{2}$ correspond au même point que $-\dfrac{\pi}{2}$. Donc son sinus vaut $-1$ et non 1.
\end{enumerate}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq6bexqcm}

\item Soit $x$ un nombre réel. On peut affirmer que:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos(x)=\sin(x)$.
\item $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$.
\item $\sin(\pi+x)=\sin(\pi-x)$.
\item $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$.
\end{multicols}

Réponse \ref{trigoq7bexqcm} C'est une question de cours.
\end{enumerate}

\item Les solutions dans l'intervalle \intervFO{0}{2\pi} de l'équation $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ sont:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$.
\item $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$.
\item $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.
\item $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$.
\end{multicols}

Réponse \ref{trigoq8dexqcm} C'est du cours
\end{enumerate}

\item Soit $x$ un nombre réel. Le réel $\cos(x+3\pi)$ est égal à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\cos(x)$.
\item $-\cos(x)$.
\item $\sin(x)$.
\item $-\sin(x)$.
\end{multicols}

Réponse \ref{trigoq9dexqcm} En effet, $\cos(x+3\pi)=\cos(x+\pi+2\pi)=\cos(x+\pi)=-\cos(x)$.
\end{enumerate}

\item  Pour tout nombre réel $x$, $\sin(7\pi-x)$ est égal à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\sin(x)$.
\item $-\sin(x)$.
\item $\cos(x)$.
\item $-\cos(x)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

Réponse \ref{trigoq10dexqcm} En effet, $\sin(7\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin(x)$.

\item $t$ est un réel. On sait que $\cos(t)=\dfrac{2}{3}$. Alors $\cos(t+4\pi)+\cos(-t)$ est égal à:
\begin{align*}
\cos(t+4\pi)+\cos(-t) & = \cos(t) + \cos(t)\\
& = 2\cos(t)\\
& = 2\times\dfrac{2}{3}\\
& = \dfrac{4}{3}.
\end{align*}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq11dexqcm}

\item L'expression de $\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à:
\begin{align*}
\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) & = \sin(x)-\sin(x)\\
& = 0.
\end{align*}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq12dexqcm}

\item Dans l'intervalle \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}, l'unique solution de l'équation $2\cos(x+\pi)+1=0$ est:
\begin{align*}
2\cos(x+\pi)+1=0 & \iff 2\cos(x+\pi) = -1\\
& \iff \cos(x+\pi)=-\dfrac{1}{2}\\
& \iff -\cos(x)=-\dfrac{1}{2}\\
& \iff \cos(x)=\dfrac{1}{2}\\
& \iff x = \dfrac{\pi}{3}.
\end{align*}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq13aexqcm}

\item $\alpha$ est un nombre réel tel que $\sin(\alpha)=0,5$. On a alors:
\[
\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)=0,5.
\]
La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq14aexqcm}

\item Réponse \ref{trigoq15bexqcm} L'équation $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ admet une solution dans \intervFO{0}{\pi} qui est $x=\dfrac{2\pi}{3}$.

\item On donne : $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$.

L'affirmation \og $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$ \fg{} est-elle exacte ?

\bigskip

$\dfrac{2\pi}{5}\in\intervFF{0}{\pi}$ car $0<\dfrac{2}{5}<1$, donc peu importe la valeur de son cosinus, son sinus sera nécessairement positif.

L'affirmation est donc fausse.
\end{enumerate}
