
\begin{enumerate}
\item Les triangles ABE et CBF sont égaux et respectivement rectangles en A et C, avec\linebreak $FC=AE$ et $BC=AB$. Donc $BE=BF$.

De plus, d'après le théorème de Pythagore,
\begin{align*}
BE^2 & = AB^2 + AE^2\\
     & = a^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2\\
     & = a^2 + \frac{1}{4}a^2\\
     & = \frac{5}{4}a^2\\
BE & = \sqrt{\frac{5}{4}a^2}\\
 \Aboxed{ BE &= \dfrac{a\sqrt5}{2} }
\end{align*}

\item D'après la formule du produit scalaire avec cosinus,
\begin{align*}
\prodscal{BE}{BF} & = BE \times BF \times \cos\angleor{BE}{BF}\\
& = BE^2\cos\theta\\
\Aboxed{\prodscal{BE}{BF}& = \dfrac{5}{4}a^2\cos\theta}
\end{align*}

\item Dans le repère orthonormé $\big(A\;;\;\vv{AB},\vv{AD}\big)$, on a :
\[
\vv{BE}\dbinom{-a}{\frac{1}{2}a}\qquad\text{et}\qquad
\vv{BF}\dbinom{-\frac{1}{2}a}{a}
\]
donc :
\[
\prodscal{BE}{BA} = -a \times \left(-\frac{1}{2}a\right) + \frac{1}{2}a \times a = a.
\]

\item Des questions précédentes, on déduit:
\begin{align*}
\prodscal{BE}{BF}=\dfrac{5}{4}a^2\cos\theta=a^2 & \iff
\dfrac{5}{4}\cos\theta = 1\\
& \iff \boxed{\cos\theta = \dfrac{4}{5}}
\end{align*}

\underline{On en déduit alors que $\theta \approx 37^\circ$.}
\end{enumerate}
