
Faisons avant tout une figure :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoint[label=200:A](0,0){A}
\tkzDefPoint[label=-30:B](4,0){B}
\tkzDefPoint[label=30:C](4,4){C}
\tkzDefPoint[label=150:D](0,4){D}
\tkzDefMidPoint(A,B)\tkzGetPoint{I}
\tkzDefMidPoint(A,D)\tkzGetPoint{J}
\tkzDefMidPoint(I,D)\tkzGetPoint{K}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDrawSegments(J,B A,K D,I)
\tkzDrawPoints(I,J,K)
\tkzLabelPoint[left](J){J}
\tkzLabelPoint[below](I){I}
\tkzLabelPoint[above right](K){K}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour calculer \prodscal{DK}{AB}, on peut projeter $K$ sur (AB); on obtient un point $K'$ au milieu de [AI]. Ainsi,
\begin{align*}
\prodscal{DK}{AB} & = AK' \times AB\\
& = \dfrac{1}{2}AI \times AB\\
& = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}AB \times AB\\
& = \dfrac{1}{4}AB^2.
\end{align*}

\item Démontrer que (AK) et (JB) sont perpendiculaires est équivalent à démontrer que $\prodscal{AK}{BJ}=0$.
\begin{align*}
\prodscal{AK}{BJ} & = \rm\big(\vv{AD}+\vv{DK}\big)\cdot\big(\vv{BA}+\vv{AJ}\big)\\
& = \underbrace{\prodscal{AD}{BA}}_{=\vv{0}} + \prodscal{AD}{AJ} + \prodscal{DK}{BA} + \prodscal{DK}{AJ}\\
& =\rm AD \times AJ -\prodscal{DK}{AB} - \prodscal{DK}{JA}\\
& = \rm \dfrac{1}{2}AD^2 - \dfrac{1}{4}AB^2 - DJ\times JA\\
& = \rm \dfrac{1}{2}AD^2 - \dfrac{1}{4}AD^2 - \dfrac{1}{4}AD^2 = 0.
\end{align*}

\end{enumerate}
