
\begin{enumerate}
\item La formule d'Al-Kashi nous permet d'écrire:
\[
\rm AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2\times AC \times BC \times\cos\angle{BCA}
\]
soit :
\[
81=16+49-56\cos\angle{BCA}.
\]
On a alors :
\[
\cos\angle{BCA} = \dfrac{81-16-49}{-56}=-\dfrac{2}{7}\;,
\]
d'où :
\[
\boxed{\angle{BCA} \approx 107^\circ}
\]

\item La formule d'Al-Kashi nous permet d'écrire:
\[
\rm BC^2=CA^2+AB^2-2\times AB \times AC \times \cos\angle{BAC}
\]
soit :
\[
\rm BC^2 = 8^2+5^5-80\cos20^\circ \approx 13,82.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{\rm BC \approx 3,7}
\]

\item La formule d'Al-Kashi nous permet d'écrire:
\[
\rm AB^2=CA^2+CB^2-2\times CB \times CA \times \cos\angle{BCA}
\]
soit :
\[
\rm 196 = CA^2+49-14\cos(45^\circ) CA.\tag{E}
\]
Posons $\textrm{CA}=x$. L'équation (E) devient  alors :
\[
x^2-7\sqrt2x-147=0.
\]
Le discriminant de cette équation est :
\[
\Delta = \big(7\sqrt2)^2-4\times1\times(-147)=686.
\]
Les deux solutions sont donc :
\[
x_1=\dfrac{7\sqrt2-\sqrt{686}}{2}<0\text{ donc peu intéressant pour nous}
\]
et
\[
x_2=\dfrac{7\sqrt2+\sqrt{686}}{2}=\dfrac{7\big(\sqrt2+\sqrt{14}\big)}{2}\approx18,05.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{\rm AC \approx 18,05}
\]
\end{enumerate}
