
\begin{enumerate}
\item $\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}\iff\vv{AB}\dbinom{-1}{5}$.

\bigskip

De plus, $\vv{AC}\dbinom{-5}{2}$.

\medskip

Donc:

\[
 \prodscal{AB}{AC}=-1\times(-5)+5\times2=15.
 \]

\item
\begin{enumerate}
\item Soit D le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). Donc A, D, B sont alignés dans cet ordre (un schéma pourra vous convaincre). Donc $\prodscal{AB}{AD}=AB \times AD$.

De plus, d'après le cours $\prodscal{AB}{AC}=AB\times AD$ (car D est le projeté orthogonal de C sur (AB)). \underline{Ainsi, $\prodscal{AB}{AD}=\prodscal{AB}{AC}$.}

\bigskip

\item On sait (question 1) que $\prodscal{AB}{AC}=15$ et que $\prodscal{AB}{AC}=AB \times AD$; donc :
\[
AD = \dfrac{15}{AB}=\dfrac{15}{\sqrt{(-1)^2+5^2}}=\dfrac{15}{\sqrt{26}}=\dfrac{15\sqrt{26}}{26}.
\]
\end{enumerate}

\item La hauteur du triangle ABC issue de C est la longueur CD.

Dans le triangle CDA, rectangle en D, on a:
\begin{align*}
CD^2 & = AC^2-AD^2\\
& = (5^2+2^2)-\dfrac{15^2}{26}\\
& = \dfrac{529}{26}\\
\Aboxed{CD & = \dfrac{23\sqrt{26}}{26}}
\end{align*}

\item L'aire du triangle ABC est:
\begin{align*}
\mathcal{A} & = \dfrac{AB \times CD}{2}\\
& = \dfrac{\sqrt{26} \times \tfrac{23\sqrt{26}}{26}}{2}\\
\Aboxed{\mathcal{A} & = \dfrac{23}{2}}
\end{align*}
\end{enumerate}
