
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
M\coord{x}{y}\in(AB) & \iff \vv{AM}\dbinom{x-(-1)}{y-3}\text{ et }\vv{AB}\dbinom{5-(-1)}{0-3}\text{ sont colinéaires}\\
& \iff \vv{AM}\dbinom{x+1)}{y-3}\text{ et }\vv{AB}\dbinom{6)}{-3}\text{ sont colinéaires}\\
& \iff -3(x+1)-6(y-3)=0\\
& \iff -3x-3-6y+18=0\\
& \iff -3x-6y+15=0 \qquad\text{(on pourrait s'arrêter là)}\\
& \iff x+2y-5=0\qquad\text{ (en divisant tous les coefficients par $(-3)$)}
\end{aligned}$

\underline{Une équation cartésienne de (AB) est donc : $x+2y-5=0$.}

\item $\mathcal{D}$ a pour vecteur normal $\vv{n}\dbinom{-1}{3}$ donc une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est de la forme:
\[
-1x+3y+c=0.
\]
Or, $C\in\mathcal{D}$ donc $-x_C+3y_C+c=0$, soit :
\[
-9+3\times3+c=0 \iff c = 0.
\]
\underline{Finalement, une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est : $-x+3y=0$.}

\item Un vecteur directeur de (AB) est $\vv{AB}\dbinom{6}{-3}$ et un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vv{u}\dbinom{-3}{-1}$.

Or, $\dfrac{-3}{6}=\dfrac{-1}{2}$ et $\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}$ donc les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie qu'ils ne sont pas colinéaires.

\underline{Les deux droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont donc pas parallèles.}

\item $\prodscal{AB}{u}=6\times(-3)+(-3)\times(-1)=-18+3=-15\neq0$ donc les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux.

\underline{Les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont donc pas perpendiculaires.}

\item $\vv{EA}\dbinom{-1-3}{3-1}\iff\vv{EA}\dbinom{-4}{2}$ et $\vv{EC}\dbinom{9-3}{3-1}\iff\vv{EC}\dbinom{6}{2}$.

\begin{align*}
\prodscal{EA}{EC} & = EA \times EC \times \cos\angleor{EA}{EC}\\
\dbinom{-4}{2}\cdot\dbinom{6}{2} & = 2\sqrt5 \times 2\sqrt{10}\times\cos\angleor{EA}{EC}\\
-24+4 & = 4\sqrt{50}\cos\angleor{EA}{EC}\\
\cos\angleor{EA}{EC} & = \dfrac{-20}{20\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\
%\end{align*}
%
%\begin{align*}
\angleor{EA}{EC} & = -\dfrac{\pi}{4}\\
\angle{AEC} & = \pi-\dfrac{\pi}{4}\\
\Aboxed{\angle{AEC} & = \dfrac{3\pi}{4}}
\end{align*}
\end{enumerate}
