
Le milieu I de [AH] a pour coordonnées :
\[
I\coord{\dfrac{x_A+x_H}{2}}{\dfrac{y_A+y_H}{2}}=\coord{\dfrac{a+2}{2}}{2}.
\]
Posons M\coord{x}{y} un point de la médiatrice de [AH]. Alors,
\begin{align*}
\prodscal{AH}{IM}=0 & \iff \dbinom{a-2}{-4}\cdot\dbinom{x-\frac{a+2}{2}}{y-2}=0\\
&\iff (a-2)\left(\dfrac{2x-a-2}{2}\right)-4(y-2)=0\\
& \iff \dfrac{1}{2}(a-2)(2x-a-2)-4y+8=0\\
& \iff \dfrac{1}{2}(2ax-a^2-2a-4x+2a+4)-4y+8=0\\
& \iff (a-2)x-\dfrac{1}{2}a^2+10=4y\\
& \iff y = \dfrac{1}{4}(a-2)x-\dfrac{1}{8}a^2+\dfrac{5}{2}.
\end{align*}
L'équation réduite de la médiatrice de [AH] est donc $y = \dfrac{1}{4}(a-2)x-\dfrac{1}{8}a^2+\dfrac{5}{2}$.

\medskip

M a pour abscisse $a$ (car H est son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses, donc les deux points ont la même abscisse). Ainsi, en remplaçant $x$ par $a$ dans l'équation réduite de la médiatrice de [AH], on trouve l'ordonnée de M en fonction de son abscisse $a$ :
\[
y=\dfrac{1}{8}a^2-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{5}{2}.
\]
$a$ représentant une abscisse, on peut remplacer cette lettre par $x$. On obtient ainsi l'équation de l'ensemble des points M\coord{x}{y} tels que $MA = MH$ : c'est l'ensemble d'équation cartésienne $y=\dfrac{1}{8}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.
