
\partie{A}

\begin{enumerate}
\item D'après le cours, $\vv{u}\dbinom{-5}{3}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Considérons un point $M\coord{x}{y}$ sur $(d')$. Alors,

\begin{align*}
\prodscal{AM}{u} = 0 & \iff \dbinom{x-6}{y-4}\cdot\dbinom{-5}{3} = 0\\& \iff -5(x-6) + 3(y-4) = 0\\
& \iff -5x + 3y + 30 - 12 = 0\\
& \iff -5x + 3y + 18 = 0
\end{align*}

\underline{Ainsi, une équation cartésienne de $(d')$ est $-5x+3y+18=0$.}

\item Pour trouver les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $(d')$, résolvons le système suivant:
\begin{align*}
\systeme{3x+5y-2=0@L_1,-5x+3y+18=0@L_2} & \iff
\systeme{15x+25y-10=0@L1\leftarrow5L_1,-15x+9y+54=0@L_2\leftarrow3L_2}\\
& \iff \systeme{3x+5y-2=0@L_1,34y+44=0@L_2\leftarrow L_1+L_2}\\
& \iff \systeme{3x+5y-2=0,y=-\dfrac{44}{34}=-\dfrac{22}{17}}
\end{align*}

De $L_1$, on déduit :
\begin{align*}
x & = \dfrac{1}{3}\left[2-5\times\left(-\dfrac{22}{17}\right)\right]\\
& = \dfrac{1}{3}\left(2+\dfrac{110}{17}\right)=\dfrac{48}{17}.
\end{align*}

Ainsi, $\boxed{H\coord{\dfrac{48}{17}}{-\dfrac{22}{17}}}$.

\item De la question précédente, on déduit:
\begin{align*}
AH & = \sqrt{(x_H-x_A)^2 + (y_H-y_A)^2}\\
& = \sqrt{\left(\dfrac{48}{17}-6\right)^2+\left(-\dfrac{22}{17}-4\right)^2}\\
& = \sqrt{\dfrac{648}{17}}\\
& = \dfrac{18\sqrt2}{\sqrt{17}}\\
\Aboxed{AH & = 18\sqrt{\dfrac{2}{17}}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
M\coord{x}{y}\in(d') & \iff \prodscal{AM}{u}=0\\
& \iff \dbinom{x-\alpha}{y-\beta}\cdot\dbinom{-b}{a}=0\\
& \iff -b(x-\alpha) + a(y-\beta) = 0\\
& \iff -bx + ay + b\alpha - a\beta = 0
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, une équation cartésienne de $(d')$ est $ -bx + ay + b\alpha - a\beta = 0$.}

\item Il faut résoudre le système:
\begin{align*}
\begin{cases}
ax+by+c=0\\
-bx+ay+b\alpha-a\beta=0
\end{cases} & \iff
\begin{cases}
abx+b^2y+bc=0 &(L_1) \\
-abx+a^2y+a(b\alpha-a\beta)=0 &(L_2)
\end{cases}
\end{align*}

\begin{align*}
(L_1)+(L_2)&  \iff (a^2+b^2)y+bc+a(b\alpha-a\beta)=0 \\
& \iff y = -\dfrac{bc+a(b\alpha-a\beta)}{a^2+b^2}.
\end{align*}

De même,

\begin{align*}
\begin{cases}
ax+by+c=0\\
-bx+ay+b\alpha-a\beta=0
\end{cases} & \iff
\begin{cases}
a^2x+aby+ac=0 &(L_1) \\
b^2x-aby-b(b\alpha-a\beta)=0 &(L_2)
\end{cases}
\end{align*}

\begin{align*}
(L_1)+(L_2)&  \iff (a^2+b^2)x+ac-b(b\alpha-a\beta)=0 \\
& \iff x = \dfrac{b(b\alpha-a\beta)-ac}{a^2+b^2}.
\end{align*}

On en déduit alors que $\boxed{H\coord{\dfrac{b(b\alpha-a\beta)-ac}{a^2+b^2}}{-\dfrac{bc+a(b\alpha-a\beta)}{a^2+b^2}}}$.

\item Pour exprimer la distance du point $A$ à la droite $(d)$, on calcule $AH$:
\begin{align*}
AH & = \sqrt{(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2}\\
& = \sqrt{\left(\dfrac{b(b\alpha-a\beta)-ac}{a^2+b^2}-\alpha\right)^2 + \left( -\dfrac{bc+a(b\alpha-a\beta)}{a^2+b^2}-\beta \right)^2}\\
& = \sqrt{\left( \dfrac{b^2\alpha-ab\beta-ac-a^2\alpha-b^2\alpha}{a^2+b^2}\right)^2 + \left( \dfrac{bc+ab\alpha-a^2\beta+a^2\beta+b^2\beta}{a^2+b^2} \right)^2}\\
& = \sqrt{\dfrac{(ab\beta+ac+a^2\alpha)^2+(bc+ab\alpha+b^2\beta)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\
& = \dfrac{\sqrt{a^2b^2\beta^2+a^2c^2}}{a^2+b^2}\\
& = \dfrac{\sqrt{a^2{\color{red}(b\beta+c+a\alpha)^2} + b^2{\color{red}(c+a\alpha+b\beta)^2}}}{a^2+b^2}\\
& = \dfrac{\sqrt{(a^2+b^2){\color{red}(a\alpha+b\beta+c)^2}}}{a^2+b^2}\\
& = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2}\times|a\alpha + b\beta + c|\\
& = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}|a\alpha + b\beta + c|\\
\Aboxed{AH & = \dfrac{|a\alpha + b\beta + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}
\end{align*}
\end{enumerate}
