

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
x^2+y^2-6x-4y+9=0 & \Longleftrightarrow (x^2-6x+9)+(y^2-4y)=0\\
&\Longleftrightarrow (x-3)^2+(y-2)^2-4=0\\
&\Longleftrightarrow (x-3)^2+(y-2)^2=2^2.
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, $\mathcal{C}$ a pour rayon $r=2$ et pour centre A\coord{3}{2}.}

\item En faisant une figure, on voit que C\coord{9}{2}, donc une équation de $\mathcal{C}^\prime$ est :
\[(x-9)^2+(y-2)^2=4^2.\]
\underline{Une équation de $\mathcal{C}^\prime$ est alors $x^2+y^2-18x-4y+69=0$.}

\item $\mathcal{C}_1$ est tangent à $\mathcal{C}$ ; notons $T_1$ leur point d'intersection.

Alors, $\text{AD}=\text{AT}_1+\text{DT}_1=2+3\times2=8$.

De m\^eme, $\text{CD}=4+6=10$.

\item Notons D\coord{x}{y}.

\begin{itemize}
\item $\text{AD}^2=(x-3)^2+(y-2)^2=x^2+y^2-6x-4y+13$ et $\text{AD}^2=8^2=64$ donc \mbox{$x^2+y^2-6x-4y+13=64$}, soit $x^2+y^2-6x-4y=51$ (1).

\item $\text{CD}^2=(x-9)^2+(y-2)^2=x^2+y^2-18x-4y+85$ et $\text{CD}^2=10^2=100$ donc \mbox{$x^2+y^2-18x-4y+85=100$}, soit $x^2+y^2-18x-4y=15$ (2).
\end{itemize}

Ainsi, $(1)-(2)\Longleftrightarrow 12x=36\Longleftrightarrow x=3$.

Or, $\text{AD}=8$ donc $y=8+y_A=8+2=10$.

\medskip

\underline{Ainsi, D\coord{3}{10}.}

\item $\begin{aligned}[t]
\text{M}\in\mathcal{C}_1 & \Longleftrightarrow (x-3)^2+(y-10)^2=6^2\\
& \Longleftrightarrow x^2+y^2-6x-20y+109=36\\
& \Longleftrightarrow x^2+y^2-6x-20y+73=0
\end{aligned}$

\underline{Une équation cartésienne de $\mathcal{C}_1$ est alors $x^2+y^2-6x-20y+73=0$.}

\item
\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}^\prime\qquad:\qquad x^2+y^2-18x-4y+69=0$
\item $\mathcal{C}_1\qquad:\qquad x^2+y^2-6x-20y+73=0$
\end{itemize}

$\begin{aligned}[t]
\text{E}\coord{x}{y}\in\mathcal{C}\cup\mathcal{C}^\prime & \Longleftrightarrow x^2+y^2-18x-4y+69=x^2+y^2-6x-20y+73=0\\
& \Longleftrightarrow 12x-16y+4=0\\
& \Longleftrightarrow 3x-4y+1=0\\
& \Longleftrightarrow y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}
\end{aligned}$

\medskip

En remplaçant $y$ dans l'équation de $\mathcal{C}^\prime$ (par exemple), on obtient :
\begin{align*}
x^2+y^2-18x-4y+69=0 & \Longleftrightarrow x^2+\left(\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}\right)^2-18x-4\left(\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}\right)+69=0\\
& \Longleftrightarrow x^2+\dfrac{9}{16}x^2+\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{16}-18x-3x-1+69=0\\
& \Longleftrightarrow \dfrac{25}{16}x^2-\dfrac{165}{8}x+68=0\\
& \Longleftrightarrow 25x^2-330x+\numprint{1089}=0
\end{align*}
\[
\Delta=(-330)^2-4\times25\times\numprint{1089}=0.
\]
donc l'équation admet une unique solution :
\[
x=\dfrac{330}{50}=\dfrac{33}{5}.
\]
Ainsi, $y=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{33}{5}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{26}{5}$.

\underline{On a alors E\coord{\dfrac{33}{5}}{\dfrac{26}{5}}}.

\medskip

\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}\qquad:\qquad x^2+y^2-6x-4y+9=0$ ($E_1$)
\item $\mathcal{C}_1\qquad:\qquad x^2+y^2-6x-20y+73=0$ ($E_2$)
\end{itemize}

En faisant $(E_1)-(E_2)$, on obtient :

\begin{align*}
F\coord{x}{y}\in\mathcal{C}\cup\mathcal{C}^\prime & \Longleftrightarrow 16y=64\\
& \Longleftrightarrow y=4.
\end{align*}

On obtient alors F\coord{2}{4}.

\medskip

$\vv{\text{AE}}\dbinom{\frac{33}{5}-3}{\frac{26}{5}-2}$, soit $\vv{\text{AE}}\dbinom{\frac{18}{5}}{\frac{16}{5}}$. Donc une équation de (AF) est de la forme :
\[
\dfrac{16}{5}x-\dfrac{18}{5}y+c=0\qquad,\qquad c\in\R.
\]
\begin{align*}
\text{A}\in(\text{AE}) & \Longleftrightarrow 16x_A-18y_A+c'=0\\
& \Longleftrightarrow 48-36+c'=0\\
& \Longleftrightarrow c'=-12.
\end{align*}

\underline{Une équation de (AE) est alors $8x-9y-6=0$.}

\medskip


$\vv{\text{CF}}\dbinom{-6}{2}$ donc une équation de (CF) est de la forme :
\[
2x+6y+c=0\qquad,\qquad c\in\R.
\]

$\text{C}\in(\text{CF})$ donc $2\times9+6\times2+c=0$, soit $c=-30$.

\underline{Une équation de (CF) est alors $x+3y-15=0$.}

\medskip

$\vv{\text{DB}}\dbinom{2}{-8}$ donc une équation de (DB) est de la forme: $-8x-2y+c=0$, $c\in\R$.

$\text{B}\in(\text{DB})$ donc $-8\times5-2\times2+c=0$, soit $c=44$.

\underline{Une équation de (DB) est alors $4x+y-22=0$.}

\bigskip

Le point d'intersection $\Omega\coord{x}{y}$ de (AE) et (CF) est tel que :
\[
\begin{cases}
8x-9y-6=0~(L_1)\\
x+3y-15=0~(L_2)
\end{cases}
\]
En faisant $8(L_2)-(L_1)$, on obtient $33y-116=0$, soit $y=\dfrac{116}{33}$, et donc $x=15-3y=-\dfrac{49}{11}$.

\medskip

On remplace ces valeurs dans l'équation de (DB) :
\[
4x+y-22=4\times\dfrac{49}{11}+\dfrac{116}{33}-22=-\dfrac{2}{3}\neq0.
\]

\uline{Donc (AE), (CF) et (DB) ne sont pas concourantes (malgré ce que l'on aurait pu penser à la vue de la figure).}

\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0}
\definecolor{uququq}{rgb}{0.25,0.25,0.25}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49,0.49,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.75,0.75,0.75}

\medskip

\begin{tikzpicture}[scale=0.8,line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-1.1,-2.59) grid (17.29,9.23);
\draw[->,color=black] (-1.1,0) -- (17.29,0);
\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0,-2.59) -- (0,9.23);
\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-1.1,-2.59) rectangle (17.29,9.23);
\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (3,10) -- (3,2) -- (9,2) -- cycle;
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\fill [color=qqqqff] (3,2) circle (1.5pt);
\draw[color=qqqqff] (3.13,2.21) node {$A$};
\fill [color=xdxdff] (5,2) circle (1.5pt);
\draw[color=xdxdff] (5.13,2.21) node {$B$};
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\draw[color=qqqqff] (9.13,2.21) node {$C$};
\fill [color=uququq] (3,10) circle (1.5pt);
\draw[color=uququq] (3.35,9.05) node {$D$};
\fill [color=uququq] (6.6,5.2) circle (1.5pt);
\draw[color=uququq] (6.72,5.41) node {$E$};
\fill [color=uququq] (3,4) circle (1.5pt);
\draw[color=uququq] (3.12,4.21) node {$F$};
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}
