

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{C}$ : $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ et $(d)$ : $x+y-1=0$.

Si $M\coord{a}{b}\in(d)$ alors $a+b-1=0$, donc $b=1-a$.

Si $M\coord{a}{b}\in\mathcal{C}$ alors $(a-1)^2+(b-2)^2=4$, c'est-à-dire :
\[
(a-1)^2+(1-a-2)^2=4
\]
soit, en développant :
\[
a^2=1.
\]
On en déduit alors que $a=1$ ou $a=-1$.

Si $a=1$ alors $b=1-a=0$.

Si $a=-1$ alors $b=1-a=2$.

\medskip

\underline{On en déduit que les deux points d'intersection ont pour coordonnées \coord{-1}{2} et \coord{1}{0}.}

\item $\mathcal{C}$ : $(x-3)^2+(y+2)^2=9$ et $(d)$ : $y=-1$.

On sait dores et déjà que l'ordonnée des points d'intersection est égale à $-1$ car ils appartiennent à $(d)$. Remplaçons alors $y$ par $-1$ dans l'équation du cercle. On obtient :
\[
(x-3)^2=8
\]
soit :
\[
x-3=\sqrt8\qquad\text{ou}\qquad x-3=-\sqrt8
\]
et donc :
\[
x=3+\sqrt8=3+2\sqrt2\qquad\text{ou}\qquad x=3-2\sqrt2.
\]
\kern-1ex\underline{Ainsi, les deux points d'intersection ont pour coordonnées \coord{3-2\sqrt2}{-1} et \coord{3+2\sqrt2}{-1}.}

\item $\mathcal{C}$ : $(x+3)^2+(y-2)^2=9$ et $(d)$ : $x=-4$.

On sait dores et déjà que l'abscisse des points d'intersection est $-4$ car ils sont sur $(d)$. Remplaçons alors $x$ par $-4$ dans l'équation du cercle. On obtient  :
\[
(y-2)^2=8
\]
soit :
\[
y-2=\sqrt8\qquad\text{ou}\qquad y-2=-\sqrt8
\]
et donc :
\[
y=2+2\sqrt2\qquad\text{ou}\qquad y=2-2\sqrt2.
\]
\kern-1ex\underline{Ainsi, les deux points d'intersection ont pour coordonnées \coord{-4}{2-2\sqrt2} et \coord{-4}{2+2\sqrt2}.}
\end{enumerate}
