
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item $\vv{AB}\dbinom{2-3}{7-0}$ donc $\vv{AB}\dbinom{-1}{7}$.
\item $\vv{AC}\dbinom{-6-3}{3-0}$ donc $\vv{AC}\dbinom{-9}{3}$.
\item $\vv{BC}\dbinom{-6-2}{3-7}$ donc $\vv{BC}\dbinom{-8}{-4}$.
\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item $AB = \sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{50}$.
\item $AC = \sqrt{(-9)^2+3^2}=\sqrt{90}$.
\item $BC=\sqrt{(-8)^2+(-4)^2}=\sqrt{80}$.
\end{itemize}

Ainsi, aucun des côtés AB, AC et BC n'a la même mesure; par conséquent, le triangle ABC n'est ni isocèle ni équilatéral.

De plus, $AC^2 \neq AB^2+BC^2$ donc il n'est pas rectangle.

\item $I\coord{\dfrac{x_A+x_B}{2}}{\dfrac{y_A+y_B}{2}}$ donc $I\coord{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{7}{2}}$.

De même, $J\coord{-\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}}$.

\item
\begin{itemize}
\item $(D)\perp (AB)$ et $I\in((D)$ par définition de la médiatrice.

Soit $M\coord{x}{y}$ un point de $(D)$. Alors;
\begin{align*}
\prodscal{IM}{AB}=0 & \iff \dbinom{x-\frac{5}{2}}{y-\frac{7}{2}}\cdot\dbinom{-1}{7}=0\\
& \iff -1\left(x-\frac{5}{2}\right) + 7\left(y-\frac{7}{2}\right)=0\\
& \iff -x + 7y +\frac{5}{2}-\frac{49}{2}=0\\
& \iff -x + 7y - 22 = 0\\
& \iff x - 7y + 22 = 0\quad\text{(autre façon d'écrire la même équation)}
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (D) est donc : $x - 7y + 22 = 0$.}

\medskip

\item $(D')\perp (AC)$ et $J\in((D')$ par définition de la médiatrice.

Soit $M\coord{x}{y}$ un point de $(D')$. Alors;
\begin{align*}
\prodscal{JM}{AC}=0 & \iff \dbinom{x+\frac{3}{2}}{y-\frac{3}{2}}\cdot\dbinom{-9}{3}=0\\
& \iff -9\left(x+\frac{3}{2}\right) + 3\left(y-\frac{3}{2}\right)=0\\
& \iff -9x + 3y - \frac{27}{2}-\frac{9}{2}=0\\
& \iff -9x + 3y - 18 = 0\\
& \iff 3x - y + 6  = 0\quad\text{(en divisant tous les coefficients par $-3$)}
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de (D') est donc : $3x - y + 6 = 0$.}
\end{itemize}

\item Trouver les coordonnées du point d'intersection de (D) et (D') revient à résoudre le système formé par les équations des deux droites : \systeme{x-7y+22=0@L_1,3x-y+6=0@L_2}.

De l'équation $L_2$, on déduit que $y=3x+6$. On peut donc remplacer $y$ par $3x+6$ dans $L_1$:
\begin{align*}
x-7(3x+6)+22=0 & \iff x-21x-42+22=0\\
& \iff -20x -20 = 0\\
& \iff x = -1
\end{align*}

Ainsi, $y=3x+6=3\times(-1)+6=-3+6=3$.

\underline{Ainsi, $\Omega\coord{-1}{3}$.}

\item Le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\Omega A$ (par exemple).
\[
\Omega A^2 = \big(3-(-1)\big)^2 + (0-3)^2 = 25.
\]
Une équation cartésienne de $\mathcal{C}$ est donc:
\[
(x-x_\Omega)^2 + (y-y_\Omega)^2 = \Omega A^2
\]
soit:
\[
\boxed{(x+1)^2+(y-3)^2=25}
\]

\item Trouver l'intersection de $\mathcal{C}$ et (D') revient à résoudre le système formé des équations cartésiennes des deux ensembles, donc le système:
\[
\begin{cases}
(x+1)^2+(y-3)^2=25\\
3x-y+6=0
\end{cases}
\]
Pour cela, il suffit d'exprimer d'écrire $y=3x+6$ à l'aide de la dernière équation, et de remplacer $y$ par $3x+6$ dans la première équation:
\begin{align*}
(x+1)^2 + \big[(3x+6)-3\big]^2=25 & \iff x^2+2x+1+9x^2+18x+9=25\\[8pt]
& \iff 10x^2+20x-15=0\\[8pt]
& \iff 2x^2+4x-3=0\quad\text{\small(en divisant tous les coefficients par 5)}
\end{align*}
On arrive à une équation du second degré de discriminant:
\[
\Delta = b^2-4ac=4^2-4\times2\times(-3)=16+24=40.
\]
Les deux solutions sont donc:
\[
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{40}}{4}=\dfrac{-2-\sqrt{10}}{2}
\]
et sa conjuguée:
\[
x_2=\dfrac{-2+\sqrt{40}}{2}.
\]
\begin{itemize}
\item Pour $x_1$, on a $y_1=3x_1+6=\dfrac{6-3\sqrt{10}}{2}$.

\medskip


\item Pour $x_2$, on a $y_2=3x_2+6=\dfrac{6+3\sqrt{10}}{2}$.
\end{itemize}

\medskip

Les deux points d'intersection de $\mathcal{C}$ et (D') sont donc les points de coordonnées \coord{x_1}{y_1} et \coord{x_2}{y_2}.
\end{enumerate}
\vspace*{1cm}
