
\begin{enumerate}
\item Le théorème d'Apollonius nous dit que :
\[
\rm MA^2+MB^2=\dfrac{1}{2}AB^2+2MI^2
\]
où I est le milieu de [AB].
Ainsi,
\begin{align*}
\rm MA^2+MB^2=100 & \rm\iff \dfrac{1}{2}AB^2+2MI^2=100\\
& \iff \rm MI^2=25\\
& \iff MI = 5.
\end{align*}

\uline{Ainsi, l'ensemble des points M du plan tels que $\rm MA^2+MB^2=100$ est le cercle de centre I et de rayon 5.}

\item D'après la propriété \ref{prop:ligne de niveau 3} du cours,
\[
\rm MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\;,
\]
où G est le centre de gravité de ABC.

Donc, nous recherchons l'ensemble des points M du plan tels que :
\[
\rm 3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2=100\;,
\]
soit :
\[
\rm MG = \sqrt{\dfrac{100-GA^2-GB^2-GC^2}{3}}.
\]
Nous savons de surcroît que G est aux deux tiers des médianes en partant des sommets :
\[
\rm GA = \dfrac{2AA'}{3}\quad,\quad GB = \dfrac{2BB'}{3}\quad,\quad GC = \dfrac{2CC'}{3}\;,
\]
où A', B' et C' sont les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB].

\medskip

Le théorème de la médiane nous dit que :
\[
\begin{cases}
\rm CA^2+CB^2=\dfrac{1}{2}AB^2+2CC'^2\\[8pt]
\rm AB^2+AC^2=\dfrac{1}{2}BC^2+2AA'^2\\[8pt]
\rm BA^2+BC^2=\dfrac{1}{2}AC^2+2BB'^2
\end{cases}
\]
soit :
\[
\begin{cases}
16+100=\dfrac{49}{2}+2CC'^2\\
49+16=50+2AA'^2\\
49+100=8+2BB'^2
\end{cases}
\]
et donc :
\[
\rm AA' = \dfrac{\sqrt{30}}{2}\qquad,\qquad BB'=\dfrac{\sqrt{282}}{2}\qquad,\qquad CC'=\dfrac{\sqrt{183}}{2}.
\]
On en déduit alors que :
\[
\rm GA = \dfrac{2}{3}\times AA' = \dfrac{\sqrt{30}}{3}\quad,\quad GB = \dfrac{\sqrt{282}}{3}\quad,\quad GC = \dfrac{\sqrt{183}}{3}.
\]
Ainsi,
\[
\rm MG = \sqrt{\dfrac{100-GA^2-GB^2-GC^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{100-\tfrac{10}{3}-\tfrac{94}{3}-\tfrac{61}{3}}{3}}=\sqrt{15}.
\]
\uline{Ainsi, l'ensemble des points M du plan tels que $\rm MA^2+MB^2+MC^2=100$ est le cercle de centre G et de rayon $\sqrt{15}$.}
\end{enumerate}
