
D'après le théorème d'Al-Kashi, on peut écrire:
\begin{align*}
AB^2       & = CA^2+CB^2-2\times CA \times CB \times \cos(15^\circ)\\
\iff 4,5^2 & = AC^2 + 6^2 - 12AC\cos(15^\circ)\\
\iff       & AC^2 - 12\cos(15^\circ)AC + 15,75=0
\end{align*}


$AC$ est alors une des solutions de cette dernière équation du second degré, de discriminant:
\begin{align*}
\Delta & =144\cos^2(15^\circ)-63\\
       & = 144\times\left(\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\right)^2-63\\
       & = 36\sqrt3+9.
\end{align*}
On trouve alors deux solutions à l'équation:
\begin{align*}
x_1 & = \frac{12\cos(15^\circ)-\sqrt{ 36\sqrt3+9 }}{2} \\
    & = \frac{3\big(\sqrt2+\sqrt6\big)-\sqrt{36\sqrt3+9}}{2} \\
x_1 & \approx 1,57
\end{align*}
et
\begin{align*}
x_2 & = \frac{3\big(\sqrt2+\sqrt6\big)+\sqrt{36\sqrt3+9}}{2}\\
    & \approx10,02.
\end{align*}

Il va de soit que seule la dernière valeur convient à notre problème. On a alors:
\[
AC \approx 10,02.
\]

Maintenant que nous avons $AC$, utilisons à nouveau le théorème d'Al-Kashi pour trouver l'angle demandé:
\begin{align*}
BC^2 & = AB^2 + AC^2 - 2\times AB \times AC \times\cos(\widehat{A}) \\
\iff 36 & \approx 4,5^2 + 10,02^2 - 2\times4,5\times10,02\times\cos(\widehat{A}) \\
\iff \cos(\widehat{A}) & \approx 0,938682634731\\
\iff \widehat{A} & \approx 20^\circ.
\end{align*}
