
\begin{enumerate}
\item A\coord{-1}{2}, B\coord{4}{-3} et $\mathcal{D}$ est la médiatrice de [AB].

On a donc $\vv{\text{AB}}\dbinom{5}{-5}$.

Le milieu de [AB] est I\coord{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}.

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in\mathcal{D} & \Longleftrightarrow \prodscal{AB}{IM}=0\\
&\Longleftrightarrow \dbinom{5}{-5}\cdot\dbinom{x-\frac{3}{2}}{y+\frac{1}{2}}=0\\
&\Longleftrightarrow 5\left(x-\frac{3}{2}\right)-5\left(y+\frac{1}{2}\right)=0\\
&\Longleftrightarrow 5x-5y-10=0\\
&\Longleftrightarrow x-y+2=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc $x-y+2=0$.}

\item $\mathcal{D}$ est la droite passant par A\coord{1}{3} et perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}^\prime$ d'équation \mbox{$2x-5y+3=0$}.

Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est un vecteur normal de $\mathcal{D}^\prime$, soit par exemple $\vv{u}\dbinom{2}{-5}$. Ainsi, une équation de $\mathcal{D}$ est de la forme :
\[
-5x-2y+c=0\qquad,\qquad c\in\R.
\]

\[
\text{A}\coord{1}{3}\in\mathcal{D} \Longleftrightarrow -5\times1-2\times3+c=0\Longleftrightarrow c=11.
\]

\underline{Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc $5x+2y-11=0$.}

\item $\mathcal{D}$ est la tangente au cercle de centre O et de rayon 3 passant par le point de ce cercle d'abscisse 2 et d'ordonnée positive.

Dans ce cas, $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à (OA), où A est le point du cercle d'abscisse 2. Son ordonnée est $y=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$ donc A\coord{2}{\sqrt{5}}.

Ainsi, (OM) a pour équation $y=\dfrac{\sqrt{5}}{2}x$, ou encore $\dfrac{\sqrt{5}}{2}x-y=0$, dont un vecteur normal est $\vv{n}\dbinom{\frac{\sqrt{5}}{2}}{-1}$.

\medskip

$\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vv{n}$ car elle est perpendiculaire à (OM) donc une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est :
\[
-x-\dfrac{\sqrt{5}}{2}y+c=0\qquad,\qquad c\in\R.
\]

\[
\text{A}\in\mathcal{D}\Longleftrightarrow -2-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\times\sqrt{5}+c=0\Longleftrightarrow c=\dfrac{9}{2}.
\]

\underline{Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc $2x+\sqrt{5}y-9=0$.}

\item $\mathcal{D}$ a pour vecteur normal le vecteur $\vv{n}\dbinom{2}{-1}$ et passe par le point A\coord{-1}{2}.

\begin{align*}
\text{M}\coord{x}{y}\in\mathcal{D} & \Longleftrightarrow \vv{\text{AM}}\cdot\vv{n}=0\\
& \Longleftrightarrow \dbinom{x+1}{y-2}\cdot\dbinom{2}{-1}=0\\
& \Longleftrightarrow 2(x+1)-1(y-2)=0\\
& \Longleftrightarrow 2x-y+4=0.
\end{align*}

\underline{Une équation cartésienne de $\mathcal{D}$ est donc $2x-y-4=0$.}
\end{enumerate}
