
On choisit $\Omega$ comme l'ensemble des individus de la population.

On pose :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item M : \og l'individu est malade \fg
\item T : \og le test est positif \fg.
\end{multicols}
\end{itemize}
Alors, l'énoncé nous dit que :
\begin{itemize}
\item $\proba{M}=\pourcent{0,5}=\dfrac{5}{\numprint{1000}}=\dfrac{1}{200}$, d'où $\proba{\evcont{M}}=\dfrac{199}{200}$;
\begin{multicols}{2}
\item $\probacond{T}{M}=\dfrac{99}{100}$;
\item $\probacond{T}{\evcont{M}}=\pourcent{2}=\dfrac{1}{50}$.
\end{multicols}
\end{itemize}
On cherche à déterminer $\probacond{M}{T}$.
\begin{align*}
\probacond{M}{T} & = \dfrac{\proba{M\cap T}}{\proba{T}}\\
& = \dfrac{\probacond{T}{M}\times\proba{M}}{\probacond{T}{M}\times\proba{M}+\probacond{T}{\evcont{M}}\times\proba{\evcont{M}}}\\
& = \dfrac{0,99\times0,005}{0,99\times0,005+0,02\times0,995}\\
& \approx0,2.
\end{align*}
\underline{Il y a donc \pourcent{20} d'être malade sachant que le test est positif.}

\begin{rem}
Selon une enquête de l'institut Max-Planck, si on demande à des médecins de choisir comme réponse à la question posée dans l'énoncé entre 3 probabilités possibles (à peu près \pourcent{90}, à peu près \pourcent{50} ou à peu près \pourcent{20}), seul un tiers des médecins trouvent la bonne réponse.
\end{rem}
