
\begin{enumerate}
\item L'arbre est présenté page suivante (faute de place sur celle-ci), en fin de corrigé.

\item D'après l'arbre précédent,
\begin{itemize}
\item $\probavar{X}{-3}=\dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{7}$
\item $\probavar{X}{-2}=\dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{14}$
\item $\probavar{X}{2}=\dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{21}$
\item $\probavar{X}{7}=\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{42}$
\end{itemize}

La loi de probabilité de X est alors :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*4{Sc|}}
\hline
$x_i$ & $-3$ & $-2$ & 2 & 7\\
\hline
\probavar{X}{x_i} & $\dfrac{2}{7}$ & $\dfrac{5}{14}$ & $\dfrac{5}{21}$ & $\dfrac{5}{42}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\esp{X}=(-3)\times\dfrac{2}{7}+(-2)\times\dfrac{5}{14}+2\times\dfrac{5}{21}+7\times\dfrac{5}{42}=-\dfrac{11}{42}$.

\underline{Ainsi, le jeu est plutôt défavorable au joueur.}

\item $\esp{X}=-\dfrac{11}{42}$ donc il faut ajouter à la mise de départ $\dfrac{11}{42}$ \euro, soit à peu près 0,26 \euro.

\underline{La mise de départ doit donc être égale à $3-0,26=2,74$ \euro.}

\item
\begin{enumerate}
\item Les gains \emph{absolus} du jeu initial sont donnés par $\text{X}+3$ (on ne considère pas ici la mise de départ de 3 \euro). Si on multiplie tous les gains absolus par $a$, les nouveaux gains sont donnés par la variable aléatoire $a(\text{X}+3)=a\text{X}+3a$. En tenant compte de la mise souhaitée $m$, on arrive à la variable aléatoire $\text{Y}=a\text{X}+3a-m$.

\item $\esp{Y}=\esp{$a$X+3$a-m$}=a\esp{X}+3a-m$ par linéarité de l'espérance.

Ainsi, $\esp{Y}=-\dfrac{11a}{42}+3a-m$.

Si le jeu est équitable, il faut que $\esp{Y}=0$, donc:
\[
-\dfrac{11a}{42}+3a-m=0\qquad\text{soit:}\qquad m=-\dfrac{11a}{42}+3a =\left(-\dfrac{11}{42}+\dfrac{3\times42}{42}\right)a
 =\dfrac{115}{42}.
\]
Par conséquent, l'organisateur doit fixer la mise de départ à $\dfrac{115}{42}$ \euro{} (soit à peu près 2,74 \euro) pour que le jeu soit équitable avec ces nouvelles règles.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\node (RJ) at (4,12) {J};
\node (RB) at (4,11) {B};
\node (RN) at (4,10) {N};
%
\node (JJ) at (4,9) {J};
\node (JB) at (4,8) {B};
\node (JR) at (4,7) {R};
\node (JN) at (4,6) {N};
%
\node (BJ) at (4,5) {J};
\node (BB) at (4,4) {B};
\node (BR) at (4,3) {R};
\node (BN) at (4,2) {N};
%%
\node (R) at (2,11) {R};
\node (J) at (2,7.5) {J};
\node (B) at (2,4.5) {B};
\node (N) at (2,0) {N};
%
\draw (0,6) -- (R.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{7}$};
\draw (0,6) -- (J.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{2}{7}$};
\draw (0,6) -- (B.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{3}{7}$};
\draw (0,6) -- (N.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{7}$};
%
\draw (R.east) -- (RJ.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{3}$};
\draw (R.east) -- (RB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{2}$};
\draw (R.east) -- (RN.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
%
\draw (J.east) -- (JJ.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
\draw (J.east) -- (JB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{2}$};
\draw (J.east) -- (JR.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
\draw (J.east) -- (JN.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
%
\draw (B.east) -- (BJ.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{3}$};
\draw (B.east) -- (BB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{3}$};
\draw (B.east) -- (BR.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
\draw (B.east) -- (BN.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
%
\draw[->] (RJ.east) -- ($(RJ)+(2,0)$) node[right] {$5-3=2$ \euro};
\draw[->] (RB.east) -- ($(RB)+(2,0)$) node[right] {$1-3=-2$ \euro};
\draw[->] (RN.east) -- ($(RN)+(2,0)$) node[right] {$0-3=-3$ \euro};
\draw[->] (JJ.east) -- ($(JJ)+(2,0)$) node[right] {$5-3=2$ \euro};
\draw[->] (JB.east) -- ($(JB)+(2,0)$) node[right] {$1-3=-2$ \euro};
\draw[->] (JR.east) -- ($(JR)+(2,0)$) node[right] {$10-3=7$ \euro};
\draw[->] (JN.east) -- ($(JN)+(2,0)$) node[right] {$0-3=-3$ \euro};
\draw[->] (BJ.east) -- ($(BJ)+(2,0)$) node[right] {$5-3=2$ \euro};
\draw[->] (BB.east) -- ($(BB)+(2,0)$) node[right] {$1-3=-2$ \euro};
\draw[->] (BR.east) -- ($(BR)+(2,0)$) node[right] {$10-3=7$ \euro};
\draw[->] (BN.east) -- ($(BN)+(2,0)$) node[right] {$0-3=-3$ \euro};
\draw[->] (N.east) -- ($(N)+(4,0)$) node[right] {$0-3=-3$ \euro};
\end{tikzpicture}
\end{center}
