
\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités complété est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (R1) at (0,2) {R};
\node (B1) at (0,0) {B};
\node (N1) at (0,-2) {N};
%
\node (R1R2) at (2,2.75) {R};
\node (R1B2) at (2,2) {B};
\node (R1N2) at (2,1.25) {N};
%
\node (B1R2) at (2,.75) {R};
\node (B1B2) at (2,0) {B};
\node (B1N2) at (2,-.75) {N};
%
\node (N1R2) at (2,-1.25) {R};
\node (N1B2) at (2,-2) {B};
\node (N1N2) at (2,-2.75) {N};
%
\draw (-2,0) -- (R1.west) node[midway,left] {$\frac{2}{3}$};
\draw (-2,0) -- (B1.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{4}$};
\draw (-2,0) -- (N1.west) node[midway,left] {$\frac{1}{12}$};
%
\draw (R1.east) -- (R1R2.west) node[midway,above,scale=0.75] {$\frac{1}{12}$};
\draw (R1.east) -- (R1B2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.75] {$\frac{2}{3}$};
\draw (R1.east) -- (R1N2.west) node[midway,below,scale=0.75] {$\frac{1}{4}$};
%
\draw (B1.east) -- (B1R2.west) node[midway,above,scale=0.75] {$\frac{1}{12}$};
\draw (B1.east) -- (B1B2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.75] {$\frac{2}{3}$};
\draw (B1.east) -- (B1N2.west) node[midway,below,scale=0.75] {$\frac{1}{4}$};
%
\draw (N1.east) -- (N1R2.west) node[midway,above,scale=0.75] {$\frac{1}{12}$};
\draw (N1.east) -- (N1B2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.75] {$\frac{2}{3}$};
\draw (N1.east) -- (N1N2.west) node[midway,below,scale=0.75] {$\frac{1}{4}$};
%
\node at (0,3.5) {$U_1$};
\node at (2,3.5) {$U_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité d'avoir deux boules rouges est : $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{18}$.

La probabilité d'avoir deux boules blanches est : $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$.

La probabilité d'avoir deux boules noires est : $\dfrac{1}{12}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{48}$.

Ainsi, la probabilité d'avoir deux boules de la même couleur est :
\[
\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{48}=\dfrac{35}{144}.
\]

Par conséquent, la probabilité d'avoir deux boules de couleurs différentes est :
\[
1-\dfrac{35}{144}=\dfrac{109}{144}.
\]

Le gain algébrique du joueur peut être $-5$ \euro{} (s'il paie 5 \euro{} pour jouer et s'il ne gagne pas) ou $5$ \euro{} (s'il paie 5 \euro{} et qu'il gagne 10 \euro).

On a alors :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries}Sr|*2{Sc|}}
\hline
X & $-5$ & 5\\
\hline
P(X) & $\dfrac{109}{144}$ & $\dfrac{35}{144}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'espérance mathématique de X est : $\begin{aligned}[t]
\esp{X} & = -5\times\dfrac{109}{144}+5\times\dfrac{35}{144}\\
\Aboxed{\esp{X} & = -\dfrac{185}{72}\approx-2,57}
\end{aligned}$

\medskip

\uline{Cela signifie que si l'on participe un grand nombre de fois à ce jeu, on peut \og espérer \fg{} perdre en moyenne 2,57 \euro.}

\item La variance de X est : $\begin{aligned}[t]
\var{X} & = \left[-5-\left(-\dfrac{185}{72}\right)\right]^2\times\dfrac{109}{144}+\left[5-\left(-\dfrac{185}{72}\right)\right]^2\times\dfrac{35}{144}\\
\Aboxed{\var{X} & = \dfrac{\numprint{95375}}{\numprint{5184}}\approx18,4}
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
\ectype{X} & = \sqrt{\var{X}}\\
& \approx \sqrt{18,4}\\
\Aboxed{\ectype{X} & \approx 4,29}
\end{aligned}$

\medskip

L'écart-type représentant l'écart moyen à l'espérance, le joueur peut espérer avoir un gain algébrique entre $\esp{X}-\ectype{X}\approx-6,86$ \euro{} et $\esp{X}+\ectype{X}\approx1,72$ \euro.
\end{enumerate}
