\chapter{Le second degré}

\newpage

\section{Introduction et motivation}

\subsection{Trajectoire d'un objet lancé avec un angle}

Imaginons l'expérience suivante : on lance un objet quelconque à partir d'une hauteur $h$ par rapport au sol, avec un angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale, et ce avec une vitesse initiale $v_0$. Le tout est rapporté à un repère, comme représenté ci-dessous :

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (10,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (0,7);
\node[below left] (0,0) {$O$};
\node[above right] at (-1,-0.1) {\includegraphics[scale=1]{01-homme.png}};
\draw[thick,red] plot[domain=0:10,samples=100] (\x,{-0.2*\x*\x+2*\x+1.6});
\draw[thick,blue!50!black,->,>=latex] (0,1.6) -- (2,5.6) node[midway,above,rotate=63] {$v_0$};
\draw[dashed,blue!50!black] (0,1.6) -- (2,1.6);
\draw[thick,blue!50!black,->,>=latex] (1,1.6) arc (0:63:1);
\node[blue!50!black,right] at ($(0,1.6)+(32:1.2)$) {$\alpha$};
\draw[thick,<->,>=latex,green!50!black] (1.5,0) -- (1.5,1.6) node[midway,right] {$h$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Les lois de la mécanique newtonienne nous permettent de dire que l'équation de la trajectoire (en rouge) est :
\[
y=  - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + (\tan \alpha)x+h\,,
\]
où $g\approx9,81$ sur Terre.

\bigskip

Si on souhaite connaître :
\begin{itemize}
\item le point culminant de la trajectoire,
\item l'endroit où va tomber l'objet,
\end{itemize}

ou avoir d'autres informations sur cette trajectoire, il serait intéressant de savoir étudier les fonctions de la même forme, c'est-à-dire de la forme :
\[ f(x)=ax^2+bx+c. \]
C'est ce que nous allons faire dans ce chapitre.

\newpage

\subsection{Définition}

\begin{defin}
On appelle \textbf{polynôme du second degré}, ou \textbf{polynôme de degré 2}, les polynômes de la forme :
\[
P(x)=ax^2+bx+c\qquad,\qquad a\neq 0,
\]
où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $P_1(x)=3x^2-5x+2$ est un polynôme de degré 2 avec $a=3$, $b=-5$ et $c=2$.
\item $P_2(x)=-8x^2+4x-7$ est un polynôme de degré 2 avec $a=-8$, $b=4$ et $c=-7$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\section{Forme canonique}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ un polynôme de degré 2.

On appelle \textbf{forme canonique} de $P$ la forme suivante :
\[
P(x) = a(x-\alpha)^2+\beta\,,
\]
où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.
\end{defin}

\begin{exemple}
Considérons le polynôme $P(x)=3x^2-5x+2$.

Alors, 
\[
\alpha = -\dfrac{-5}{2\times3} = \dfrac{5}{6}
\]
et donc  :
\[
\beta = P\left(\frac{5}{6}\right)=3\left(\frac{5}{6}\right)^2-5\left(\frac{5}{6}\right)+2=-\frac{1}{12}.
\]
Ainsi, la forme canonique de $P(x)$ est :
\[
P(x)=3\left(x-\frac{5}{6}\right)^2-\frac{1}{12}.
\]
\end{exemple}

\newpage

\subsection{Sens de variation}

\begin{prop}
Soit $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ la forme canonique d'un polynôme de degré 2.

\begin{multicols}{2}
Si $a>0$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5,lgt=1.5,color,colorV=prop!30,colorC=prop!30,colorL=prop!30]{$x$/0.5,$P(x)$/1}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$\beta$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si $a<0$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5,lgt=1.5,color,colorV=prop!30,colorC=prop!30,colorL=prop!30]{$x$/0.5,$P(x)$/1}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$\beta$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}
\end{prop}

\section{Racines éventuelles}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$.

\medskip

On appelle \textbf{racines} de $P(x)$ les nombres $x_i$ tels que $P(x_i)=0$, c'est-à-dire les solutions de l'équation $P(x)=0$.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $P(x)=3x^2-5x+2$. $x=1$ est une racine de $P(x)$ car $P(1)=3\times1^2-5\times1+2=0$.
\item $Q(x)=x^2+x-6$. $x=-3$ est une racine de $Q(x)$ car $Q(-3)=(-3)^2+(-3)-6=9-3-6=0$.
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Existence de racines}

\subsubsection{Résultat préliminaire}

\begin{prop}
Pour tous réels $x$ et $m$, 
\[
x^2 + mx = \left(x+\frac{m}{2}\right)^2-\frac{m^2}{4}.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{demo}
Développons à l'aide de l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ :
\begin{align*}
\textcolor{purple}{\left(x+\dfrac{m}{2}\right)^2}-\dfrac{m^2}{4} 
& = \textcolor{purple}{x^2+\cancel{2}\times\dfrac{m}{\cancel{2}}\times x + \left(\dfrac{m}{2}\right)^2}-\dfrac{m^2}{4}\\
& = \textcolor{purple}{x^2+mx+\cancel{\dfrac{m^2}{4}}}-\cancel{\dfrac{m^2}{4}}\\
& = x^2+mx.
\end{align*}
L'égalité est ainsi démontrée.
\end{demo}

\subsubsection{Discriminant}

Considérons un polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$. Alors :
\begin{align*}
P(x) & = a\left[\textcolor{blue}{x^2+\dfrac{b}{a}x} + \dfrac{c}{a}\right]\\[6pt]
& = a\left[ \textcolor{blue}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}}+\frac{c}{a} \right] & \small\text{d'après la propriété 2}\\[6pt]
& = a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2} \right] & \small\text{en mettant au même dénominateur les deux dernières fractions}
\end{align*}

Cette dernière écriture nous pousse à considérer la définition suivante.

\begin{defin}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$.

\medskip

On appelle \textbf{discriminant} de $P(x)$ le nombre $\Delta$ (lire \og delta \fg)  défini par :
\[
\Delta = b^2-4ac. \]
\end{defin} 

\begin{exemple}
On considère le polynôme $P(x)=3x^2-5x+2$.

Son discriminant est :
\[
\Delta = b^2-4ac = (-5)^2-4\times3\times2 = 25-24 = 1.
\]
\end{exemple}

\subsubsection{Trouver les racines éventuelles}

Nous cherchons à résoudre l'équation :
\[ P(x) = 0 \]
c'est-à-dire :
\[
 a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2} \right] =0
 \]
 d'après l'écriture trouvée précédemment. Comme $a\neq0$, cette équation est équivalente à :
 \[
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2} =0\,,
\]
c'est-à-dire :
\[
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}\tag{E}
\]

On voit alors que trois cas sont possibles :
\begin{itemize}
\item \textbf{Cas où $\pmb{\Delta<0}$.} L'équation (E) n'a pas de solution car un carré n'est jamais strictement négatif.

\item \textbf{Cas où $\pmb{\Delta=0}$.} L'équation (E) est alors équivalente à :
\[
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0
\]
soit :
\[
x+\frac{b}{2a}=0
\]
car $Y^2=0 \iff Y=0$, en posant ici $Y=x+\dfrac{b}{2a}$.

Ainsi, 
\[
x = -\dfrac{b}{2a}.
\]

\item \textbf{Cas où $\pmb{\Delta>0}$.} L'équation (E) est alors équivalente à :
\begin{align*}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2} = 0 & \iff \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2 = 0 & \color{red}\text{de la forme }A^2-B^2=0\\
& \iff \left(x+\frac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}\right) = 0 & \color{red}\text{factorisation: }(A-B)(A+B)=0\\
& \iff x+\frac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}=0\quad\text{ou}\quad x+\frac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}=0\\
& \iff x = -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt\Delta}{2a}\quad\text{ou}\quad x=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt\Delta}{2a}.
\end{align*}
\end{itemize}

De cette étude, on en déduit la propriété suivante :

\begin{prop}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, de discriminant $\Delta$.
\begin{itemize}
\item Si $\Delta<0$, $P(x)$ n'a pas de racine.

\item Si $\Delta=0$, $P(x)$ a une racine (dite \og double \fg) :  \[ x=-\dfrac{b}{2a}.\]

\item Si $\Delta>0$, $P(x)$ a deux racines distinctes : 
\[
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
\]
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{rem}
Dans le cas où $\Delta>0$, on dit que $x_1$ est l'\textbf{expression conjuguée} de $x_2$, et réciproquement.
\end{rem}

\begin{exemple}[nombre de racines]
\begin{enumerate}
\item $P_1(x)=x^2+x+1$. Son discriminant est :
\[ \Delta_1 = 1^2-4\times1\times1=-3<0. \]
Donc $P(x)$ n'a pas de racine.

\item $P_2(x)=4x^2+4x+1$. Son discriminant est :
\[
\Delta_2 = 4^2-4\times4\times1=16-16=0.
\]
Donc $P(x)$ a une racine :
\[
x = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\times4}=-\dfrac{1}{2}.
\]

\item $P_3(x)=2x^2-5x-3$. Son discriminant est :
\[
\Delta_3=(-5)^2-4\times2\times(-3)=25+24=49>0.
\]
Donc $P(x)$ a deux racines distinctes :

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
x_1 & = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\\
& = \dfrac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\times2}\\
& = \dfrac{-2}{4}\\
& = -\dfrac{1}{2}.
\end{align*}

\begin{align*}
x_2 & = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\
& = \dfrac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\times2}\\
& = \dfrac{12}{4}\\
& = 3.
\end{align*}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exemple}

\section{Factorisation et signe d'un\\polynôme de degré 2}

\subsection{Factorisation}

\begin{prop}[factorisation]%\label{factorisation}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$, de discriminant $\Delta$.
\begin{itemize}
\item Si $\Delta<0$ alors $P(x)$ ne se factorise pas sur $\R$.

\item Si $\Delta=0$ alors $P(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$.

\item Si $\Delta>0$ alors $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $P(x)$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item $P_1(x)=x^2+x+1$. Son discriminant est :
\[ \Delta_1 = 1^2-4\times1\times1=-3<0. \]
Donc $P(x)$ ne se factorise pas sur \R.

\item $P_2(x)=4x^2+4x+1$. Son discriminant est :
\[
\Delta_2 = 4^2-4\times4\times1=16-16=0.
\]
Donc $P(x)$ a une racine :
\[
x = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\times4}=-\dfrac{1}{2}\,,
\]
et donc :
\[
\boxed{P(x)=4\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2}
\]

\item $P_3(x)=2x^2-5x-3$. $P(x)$ a deux racines distinctes : $x_1=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=3$ d'après les calculs menés dans les exemples \ref{exemple:nombre de racines}.%\ref{expolsecdeg1}.

Donc :
\[
\boxed{P(x)=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x-3)}
\]
que l'on peut aussi écrire, en développant $2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ :
\[
\boxed{P(x)=(2x+1)(x-3)}
\]
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Signe d'un polynôme de degré 2}

La propriété suivante est une conséquence de la factorisation d'un polynôme de degré 2.

\begin{prop}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$, de discriminant $\Delta$.

\begin{itemize}
\item Si $\Delta<0$ alors $P(x)$ est du signe de $a$ sur \R.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.5,color,colorV=prop!30,colorC=prop!30,colorL=prop!30]{$x$/0.5,$P(x)$/1}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{sgn($a$)}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $\Delta=0$ alors $P(x)$ est du signe de $a$, sauf pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ où il s'annule.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.5,color,colorV=prop!30,colorC=prop!30,colorL=prop!30]{$x$/0.75,$P(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac{b}{2a}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{sgn($a$)},z,\text{sgn($a$)}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Si $\Delta>0$ alors $P(x)$ est du signe opposé de $a$ entre les racines, et du signe de $a$ ailleurs.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2.5,lgt=1.5,color,colorV=prop!30,colorC=prop!30,colorL=prop!30]{$x$/0.5,$P(x)$/1}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{sgn($a$)},z,\text{sgn($-a$)},z,\text{sgn($a$)}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple où $P(x)=2x^2-5x-3$, dont les racines sont $-\dfrac{1}{2}$ et $3$. Alors,
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2.5,lgt=1.5,color,colorV=exemple!30,colorC=exemple!30,colorL=exemple!30]{$x$/0.75,$P(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\section{Somme et produit des racines}

\subsection{Premiers résultats}

\begin{prop}
Soit $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$, dont le discriminant est supposé strictement positif.

On note alors $x_1$ et $x_2$ les deux racines de $P(x)$.

Alors,
\[
x_1+x_2=-\frac{b}{a}\qquad\text{et}\qquad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
D'après la propriété \ref{prop:factorisation}, si $\Delta>0$,
\[
P(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).
\]
En développant le dernier membre de ces égalités, on obtient :
\begin{align*}
ax^2+bx+c & = a(x^2-x_2x-x_1x+x_1x_2)\\
ax^2+bx+c& = a\big[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\big]\\
ax^2+\textcolor{red}{b}x+\textcolor{green!50!black}{c} & = ax^2 \textcolor{red}{- a(x_1+x_2)}x \textcolor{green!50!black}{+ ax_1x_2}.
\end{align*}

Cette dernière égalité étant vraie pour toutes les valeurs de $x$, cela signifie que les coefficients sont égaux entre eux :
\[
b = -a(x_1+x_2) \qquad\text{et}\qquad c = ax_1x_2\,, \]
c'est-à-dire :
\[ 
x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\qquad\text{et}\qquad x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
\]
\end{demo}

\subsection{Exploiter la somme et le produit des racines}

\begin{prop}[sommet et produit des racines]%\label{somme-produit}
Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels.

Posons :
\[
S = x_1+x_2\qquad\text{et}\qquad P=x_1x_2.
\]
Alors, $x_1$ et $x_2$ sont les racines du polynôme :
\[ x^2-Sx+P. \]
\end{prop}

\begin{demo}
Posons $f(x)=x^2-Sx+P$, avec $S=x_1+x_2$ et $P=x_1x_2$.
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x_1) & =x_1^2-(x_1+x_2)x_1+x_1x_2\\
& = x_1^2-x_1^2-x_2x_1+x_1x_2\\
& = 0.
\end{aligned}$

Donc $x_1$ est une racine de $f(x)$.

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
f(x_2) & =x_2^2-(x_1+x_2)x_2+x_1x_2\\
& = x_2^2-x_1x_2-x_2^2+x_1x_2\\
& = 0.
\end{aligned}$

Donc $x_2$ est une racine de $f(x)$.
\end{itemize}
\end{demo}

\begin{rem}[pour les futur.e.s expert.e.s]
Si on pose $S(x_1,x_2)=x_1+x_2$ et $P(x_1,x_2)=x_1x_2$, alors remarquez que :
\[
S(x_1,x_2)=S(x_2,x_1)\qquad\text{et}\qquad P(x_1,x_2)=P(x_2,x_1).
\]
On dit ici que les fonctions $S$ et $P$ sont \textbf{symétriques} en $x_1$ et $x_2$.
\end{rem}

\begin{exemple}[trouver les dimensions d'un rectangle]
Un champ rectangulaire a une aire égale à \numprint{7560} m$^2$ et un périmètre de 354 m.

Quelles sont les dimensions de ce champ ?

\bigskip

Notons $x_1$ et $x_2$ les dimensions de ce champ.

Son aire vaut \numprint{7560} donc $x_1x_2=\numprint{7560}$.

Son périmètre vaut 354 donc $2(x_1+x_2)=354$, soit $x_1+x_2=177$.

\medskip

D'après la propriété \ref{prop:sommet et produit des racines}, $x_1$ et $x_2$ sont les racines du polynôme :
\[
x^2-177x+\numprint{7560}
\]
dont le discriminant est :
\[
\Delta=(-177)^2-4\times\numprint{7560}=\numprint{1089}.
\]
Ainsi,
\[
x_1=\dfrac{177-\sqrt{\numprint{1089}}}{2}=72
\]
et
\[
x_1=\dfrac{177+\sqrt{\numprint{1089}}}{2}=105.
\]
Les dimensions du champ sont donc 105 m et 72 m.
\end{exemple}

\section{L'essentiel}

\begin{tikzpicture}[->,>=latex,scale=0.9,every node/.style={scale=0.9}]
\node[rectangle,draw,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm] (F) {$P(x)=ax^2+bx+c$};
%
\node[rectangle,draw,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm] (D) at ($(F.south)+(0,-1)$) {$\Delta=b^2-4ac$};
%
\draw[very thick] (F.south)--(D.north);
%
\node[rectangle,draw=red,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=red!10,minimum height=3cm] (P) at ($(D.south east)+(+4,-3)$) {Les racines sont :\\[5pt]$x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$\\[8pt]$x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$};
\draw[very thick,color=red] (D.360) to[bend left=20] (P.north);
\node[fill=white,text width=2cm,draw=red,fill=red!10,align=center,shape=ellipse,inner xsep=0pt] at ($0.5*(D.360)+0.5*(P.north)+(0.5,0.3)$) {$\Delta>0$};
\node[rectangle,draw=red,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=red!10,minimum height=1.5cm] (f1) at ($(P.south)+(0,-1.5)$) {Factorisation :\\$a(x-x_1)(x-x_2)$};
\draw[very thick,color=red] (P.south)--(f1.north);
\node[below,rectangle,draw=red,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=red!10] (g1) at ($(f1.south)+(0,-1)$) {
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\clip (-2,-2) rectangle (2,2);
\draw[very thick,violet] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{(\x-1.5)*(\x-0.5)});
\node[violet,text width=2cm,right] at (-2,1.5) {$a>0$};
\draw[very thick,green!50!black] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{-(\x+1.5)*(\x+0.5)});
\node[green!50!black,text width=2cm] at (1.5,-1.5) {$a<0$};
\fill[green!50!black] (-0.5,0) circle (2pt) node[above] {$x_1$};
\fill[green!50!black] (-1.5,0) circle (2pt) node[above] {$x_2$};
\fill[violet] (0.5,0) circle (2pt) node[below] {$x_1$};
\fill[violet] (1.5,0) circle (2pt) node[below] {$x_2$};
\fill[violet] (1,-0.25) circle (2pt) node[below] {$S$};
\fill[green!50!black] (-1,0.25) circle (2pt) node[above] {$S$};
\end{tikzpicture}
};
\draw[very thick,color=red] (f1.south)--(g1.north);
% ----------------------------------------------------->
\node[rectangle,draw=blue,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=blue!10,minimum height=3cm] (Z) at ($(D.south)+(0,-3)$) {Une racine \og double \fg{}:\\[6pt]$x_S=\dfrac{-b}{2a}$ };
\draw[very thick,color=blue] (D.south) -- (Z.north) node[midway,fill=white,text width=2cm,draw=blue,fill=blue!10,align=center,shape=ellipse,inner xsep=0pt] {$\Delta=0$};
\node[rectangle,draw=blue,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=blue!10,minimum height=1.5cm] (f2) at ($(Z.south)+(0,-1.5)$) {Factorisation :\\$a(x-x_S)^2$};
\draw[very thick,color=blue] (Z.south)--(f2.north);
\node[below,rectangle,draw=blue,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=blue!10] (g2) at ($(f2.south)+(0,-1)$) {
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\clip (-2.5,-2) rectangle (2.5,2);
\draw[very thick,violet] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{(\x-0.5)*(\x-0.5)});
\node[right,text width=2cm,violet] at (-2.7,1.5) {$a>0$};
%\node[right,text width=2cm,green!50!black] at (-2,-1.75) {$a<0$};
\draw[very thick,green!50!black] plot[domain=-2:1,samples=100] (\x,{-(\x+0.5)*(\x+0.5)}) node[above right,inner ysep=0.75em] {$a<0$};
\fill[green!50!black] (-0.5,0) circle (2pt) node[above] {$x_S$};
\fill[purple] (0.5,0) circle (2pt) node[below] {$x_S$};
\end{tikzpicture}
};
\draw[very thick,color=blue] (f2.south)--(g2.north);
%------------------------------------------------------->
\node[rectangle,draw=brown,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=yellow!20,minimum height=3cm] (N) at ($(D.south west)+(-4,-3)$) {Pas de racine dans \R};
\draw[very thick,color=brown] (D.180) to [bend right=20] (N.north);
\node[fill=white,text width=2cm,draw=brown,fill=yellow!10,align=center,shape=ellipse,inner xsep=0pt] at ($0.5*(D.180)+0.5*(N.north)+(-.5,0.3)$) {$\Delta<0$};
\node[rectangle,draw=brown,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=yellow!20,minimum height=1.5cm] (f3) at ($(N.south)+(0,-1.5)$) {Pas de factorisation};
\draw[very thick,color=brown] (N.south)--(f3.north);
\node[below,rectangle,draw=brown,rounded corners,inner sep=1ex,align=center,text width=5cm,fill=yellow!20] (g3) at ($(f3.south)+(0,-1)$) {
\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}[>=]
\draw[->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[->] (0,-2) -- (0,2);
\clip (-2.5,-2) rectangle (2.5,2);
\draw[very thick,violet] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{(\x-1.5)*(\x-0.5)+1});
\node[violet,text width=2cm,right] at (-2.4,1.5) {$a>0$};
\draw[very thick,green!50!black] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{-(\x+1.5)*(\x+0.5)-1});
\node[green!50!black,right,text width=2cm] at (0,-1.5) {$a<0$};
\fill[violet] (1,.75) circle (2pt) node[below] {$S$};
\fill[green!50!black] (-1,-.75) circle (2pt) node[above] {$S$};
\end{tikzpicture} 
\end{minipage}
};
\draw[very thick,color=brown] (f3.south) -- (g3.north);
%------------------------------------------------------->
\begin{scope}[shift={($(g1.south)+(-4.5,-1)$)},>=,draw=red]
\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=2,color,colorC=red!10,colorL=red!10,colorV=red!10]{$x$/0.5,$P(x)$/0.75}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{sgn}(a),z,\text{sgn}(-a),z,\text{sgn}(a)}
\end{scope}
\draw[very thick,color=red] (g1.south) -- ($(g1.south)+(0,-1)$);
%------------------------------------------------------->
\begin{scope}[shift={($(g2.south)+(-3,-3)$)},>=,draw=blue]
\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=2,color,colorC=blue!10,colorV=blue!10,colorL=blue!10]{$x$/0.5,$P(x)$/0.75}{$-\infty$,$x_S$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{sgn}(a),z,\text{sgn}(a)}
\end{scope}
\draw[very thick,color=blue] (g2.south) -- ($(g2.south)+(0,-3)$);
%------------------------------------------------------->
\begin{scope}[shift={($(g3.south)+(-2.2,-1)$)},>=,draw=brown]
\tkzTabInit[lgt=1.3,espcl=2,color,colorC=yellow!10,colorV=yellow!10,colorL=yellow!10]{$x$/0.5,$P(x)$/0.75}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{sgn}(a)}
\end{scope}
\draw[very thick,color=brown] (g3.south) -- ($(g3.south)+(0,-1)$);
\node[draw,fill=pink,decorate,decoration={random steps,segment length=2mm}] at ($(g3.south)+(0,-4)$) {sgn($a$) : signe de $a$};
\node[draw,fill=pink,decorate,decoration={random steps,segment length=2mm}] at ($(g1.south)+(0,-4)$) {sgn($-a$) : signe opposé de $a$};
\end{tikzpicture}







\exercices

\subsection*{Calcul de racines et équations}

\begin{exocor}{discriminant et racines}[1]
Pour chacun des trinômes suivants, calculer le discriminant et ses éventuelles racines.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $x^2-2x+1$
\item $x^2-3x+2$
\item $-x^2+3x-2$
\item $x^2+x+1$
\item $3x^2-5x+1$
\item $-2x^2-5x+3$
\item $\dfrac{1}{4}x^2-4x+16$
\item $3x^2-8x+2$
\item $-5x^2+4x+3$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $x^2-2x+1=(x-1)^2$ (c'est une identité remarquable).

Par conséquent, $\Delta=0$ et sa racine double est $\alpha=1$.

\item $x^2-3x+2$.
\[ \Delta = (-3)^2-4\times1\times2=9-8=1.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times1}=1\qquad\text{et}\qquad \beta=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\times1}=2.
\]

\item $-x^2+3x-2$.
\[ \Delta = 3^2-4\times(-1)\times(-2)=9-8=1.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times(-1)}=2\qquad\text{et}\qquad \beta=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times(-1)}=1.
\]

\item $x^2+x+1$.
\[ \Delta=1^2-4\times1\times1=-3.\]
$\Delta<0$ donc le trinôme n'a aucune racine.

\item $3x^2-5x+1$.
\[ \Delta=(-5)^2-4\times3\times1=25-12=13.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-(-5)-\sqrt{13}}{2\times3}=\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}.
\]

\item $-2x^2-5x+3$.
\[ \Delta=(-5)^2-4\times(-2)\times3=25+24=49.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\times(-2)}=\dfrac{5-7}{-4}=\dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{5+7}{-4}=-3.
\]

\item $\dfrac{1}{4}x^2-4x+16$.
\[ \Delta=(-4)^2-4\times\dfrac{1}{4}\times16=16-16=0.\]
Donc le trinôme a une racine double :
\[ \alpha=-\dfrac{-4}{2\times\frac{1}{4}}=8.\]

\item $3x^2-8x+2$.
\[ \Delta=(-8)^2-4\times3\times2=64-24=40.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-(-8)-\sqrt{40}}{2\times3}=\dfrac{8-2\sqrt{10}}{6}=\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{4+\sqrt{10}}{6}.
\]

\item $-5x^2+4x+3$.
\[ \Delta = 4^2-4\times(-5)\times3=16+60=76.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-4-\sqrt{76}}{2\times(-5)}=\dfrac{-4-2\sqrt{19}}{-10}=\dfrac{2+\sqrt{19}}{5}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{2-\sqrt{19}}{5}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{équations se ramenant au second degré}[2]
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\sqrt{x+1}=2x-3$
\item $\sqrt{x^2-8}=2x-5$
\item $\sqrt{2x-1}=1-2x$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le domaine de validité de l'équation :
\[ \sqrt{x+1}=2x-3\]
est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que :
\[ 
\begin{cases}
x+1\geqslant0\\
2x-3\geqslant0
\end{cases}
\]
soit :
\[ x\geqslant\dfrac{3}{2}.\]

On a :

\begin{align*}
\sqrt{x+1}=2x-3 & \Longleftrightarrow x+1=(2x-3)^2\\
& \Longleftrightarrow x+1=4x^2-12x+9\\
& \Longleftrightarrow 4x^2-13x+8=0.
\end{align*}

Le discriminant de $4x^2-13x+8$ est :
\[ \Delta = 169-128=41.\]

Les solutions de l'équation sont donc potentiellement :
\[
\alpha=\dfrac{13-\sqrt{41}}{8}\approx0,82\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}\approx2,43.
\]
Comme $\alpha<\dfrac{3}{2}$ et $\beta\geqslant\dfrac{3}{2}$, l'ensemble solution de l'équation est :
\[
\boxed{S=\left\{\dfrac{13+\sqrt{41}}{8}\right\}}
\]

\item Le domaine de validité de l'équation :

\medskip

\[ \sqrt{x^2-8}=2x-5\]

est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que :

\medskip

\[
\begin{cases}
x^2-8\geqslant0\\
2x-5\geqslant0
\end{cases}\qquad\text{soit :}x\geqslant2\sqrt2.
\]

On a :

\begin{align*}
\sqrt{x^2-8}=2x-5 & \Longleftrightarrow x^2-8=(2x-5)^2\\
& \Longleftrightarrow x^2-8=4x^2-20x+25\\
& \Longleftrightarrow 3x^2-20x+33=0
\end{align*}

\medskip

Le discriminant de $3x^2-20x+33$ est : $\Delta=400-396=4$, donc il y a deux solutions potentielles : 

\medskip


\[\alpha=\dfrac{20-2}{6}=3\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{11}{3}.\]
$\alpha>2\sqrt2$ et $\beta>2\sqrt2$ donc l'ensemble solution de l'équation est :

\medskip

\[
\boxed{S=\left\{3~;~\dfrac{11}{3}\right\}}
\]

\item Le domaine de validité de l'équation :
\[
\sqrt{2x-1}=1-2x
\]
est l'ensemble des valeurs de $x$ telles que :
\[
\begin{cases}
2x-1\geqslant0\\
1-2x\geqslant0
\end{cases}
\]
soit $x=\dfrac{1}{2}$.

\medskip

Donc nul besoin d'aller plus loin; l'ensemble solution de l'équation $\sqrt{2x-1}=1-2x$ est :

\[
\boxed{S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{équations avec changement de variable}[2]
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x-5\sqrt{x}+4=0$
\item $-x^4+3x^2-2=0$
\item $\dfrac{6}{x^2}+\dfrac{1}{x}-2=0$
\item $(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+2=0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $x-5\sqrt{x}+4=0$. On pose $X=\sqrt{x}$ ; ainsi, l'équation est équivalente à :
\[
X^2-5X+4=0\;,
\]
dont le discriminant est :
\[
\Delta=25-16=9.\]
Donc les solutions de l'équation $X^2-5X+4=0$ sont :
\[
X_1=\dfrac{5-3}{2}=1\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{5+3}{2}=4.
\]
Les solutions de l'équation $x-5\sqrt{x}+4=0$ doivent donc vérifier :
\[
\sqrt{x_1}=1\qquad\text{et}\qquad\sqrt{x_2}=4\;,
\]
d'où :
\[
x_1=1\qquad\text{et}\qquad x_2=16.
\]
D'où :
\[
\boxed{S=\{1~;~16\}}
\]

\item $-x^4+3x^2-2=0$. On pose $X=x^2$ ; ainsi, l'équation est équivalente à :
\[
-X^2+3X-2=0\;,
\]
dont le discriminant est :
\[
\Delta = 9-8=1.
\]
Les solutions de l'équation $-X^2+3X-2=0$ sont donc :
\[
X_1=\dfrac{-3-1}{-2}=2\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-3+1}{-2}=1.
\]
Les solutions de l'équation $-x^4+3x^2-2=0$ sont donc $x_1$ et $x_2$ tels que :
\[
x_1^2=1\qquad\text{et}\qquad x_2^2=2\;,
\]
soit :
\[
x_1=1\text{ ou }x_1=-1\qquad\text{et}\qquad x_2=\sqrt{2}\text{ ou }x_2=-\sqrt{2}.
\]
L'ensemble solution de l'équation $-x^4+3x^2-2=0$ est donc :
\[
\boxed{S=\left\{-\sqrt{2}~;~-1~;~1~;~\sqrt{2} \right\}}
\]

\item $(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+2=0$. On pose $X=x^2-3x+1$ ; ainsi, l'équation est équivalente à :
\[ X^2-3X+2=0\]
dont les solutions évidentes sont $X_1=1$ et $X_2=2$.
\begin{itemize}
\item $X_1=1\Longleftrightarrow x^2-3x+1=1\Longleftrightarrow x(x-3)=0\Longleftrightarrow x=0\text{ ou } x=3$.
\item $X_2=2\Longleftrightarrow x^2-3x+1=2\Longleftrightarrow x^2-3x-1=0$. Le discriminant de cette dernière équation est $\Delta=9+4=13$ donc les solutions sont :
\[ x_1=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}.\]
Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+2=0$ est :
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}~;~0~;~3~;~\dfrac{3+\sqrt{13}}{2} \right\}}
\] 
\end{itemize}

\item $\dfrac{6}{x^2}+\dfrac{1}{x}-2=0$. On pose $X=\dfrac{1}{X}$ ; ainsi, l'équation est équivalente à :
\[ 6X^2+X-2=0\]
dont le discriminant est :
\[ \Delta = 1^2-4\times6\times(-2)=49=7^2.\]
Les solutions de l'équation $6X^2+X-2=0$ sont donc :
\[
X_1=\dfrac{-1-7}{2\times6}=-\dfrac{2}{3}\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-1+7}{12}=\dfrac{1}{2}.
\]
\begin{itemize}
\item $X_1=-\dfrac{2}{3}$ et $X_1=\dfrac{1}{x_1}$ donc $x_1=\dfrac{1}{X_1}=-\dfrac{3}{2}$ ;
\item $X_2=\dfrac{1}{2}$ et $X_2=\dfrac{1}{x_2}$ donc $x_2=\dfrac{1}{X_2}=2$.
\end{itemize}

Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $\dfrac{6}{x^2}+\dfrac{1}{x}-2=0$ est :
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\lbrace -\dfrac{3}{2}~;~2\right\rbrace}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{pour les futur.e.s expert.e.s}[3]
On souhaite résoudre sur \R l'équation (E) suivante :
\[
4x^2+2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)x-\sqrt{6}=0
\]

\begin{enumerate}
\item On pose $\Delta=20+8\sqrt{6}$ et on suppose que $\Delta=\big(a+b\sqrt{6}\big)^2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $a^2+6b^2=20$ et $ab=4$.
\item En déduire que $a^4-20a^2+96=0$.
\item Trouver alors $a$ et $b$ et en déduire $\sqrt{\Delta}$.
\end{enumerate}
\item En déduire les solutions de (E).
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
& \Delta=20+8\sqrt{6}\\
\iff & \big(a+b\sqrt{6}\big)^2=20+8\sqrt{6}\\
\iff & a^2+2ab\sqrt{6}+6b^2=20+8\sqrt{6}\\
\iff & a^2+6b^2+2ab\sqrt{6}=20+8\sqrt{6}\\
\iff & \begin{cases}
a^2+6b^2 & =20\\
2ab & = 8
\end{cases}\\
\iff & \boxed{\begin{cases}
a^2+6b^2 & =20\\
ab & = 4
\end{cases}}
\end{aligned}$

\item $ab=4$ donc $b=\dfrac{4}{a}$. La première équation donne alors :
\begin{align*}
a^2+6b^2 =20 & \iff a^2+\left(\dfrac{4}{a}\right)^2=20\\
& \iff a^2+6\times\dfrac{16}{a^2}=20\\
& \iff a^4+96=20a^2\\
& \iff \boxed{a^4-20a^2+96=0}
\end{align*}

\item On pose $A=a^2$ ; l'équation $a^4-20a^2+96=0$ est équivalente à :
\[ A^2-20A+96=0 \]
dont le discriminant est :
\[
\Delta' = (-20)^2-4\times1\times96=16=4^2.
\]
L'équation $A^2-20A+96=0$ admet donc deux solutions :
\[
A_1=\dfrac{20-4}{2}=8=a_1^2\qquad\text{et}\qquad A_2=\dfrac{20+4}{2}=12=a_2^2.
\]
Ainsi, $a_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ou $a_1=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$, et $a_2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ ou $a_2=-2\sqrt{3}$.

Faisons le choix de prendre $a=2\sqrt{2}$ ; alors $b=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Dans ce cas, $a+b\sqrt{6}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}\times\sqrt{6}=2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)$.

Or, $\big[2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)\big]^2=4\big(2+3+2\sqrt{6}\big)=20+8\sqrt{6}=\Delta$.

\medskip

Ainsi, $\boxed{\sqrt{\Delta}=2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}$.
\end{enumerate}

\item Le discriminant de $4x^2+2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)x-\sqrt{6}$ est :
\begin{align*}
\Delta & = \big[2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)\big]^2-4\times4\times\big(-\sqrt{6}\big)\\
& = 4\big(3+2-2\sqrt{6}\big)+16\sqrt{6}\\
& = \boxed{20+8\sqrt{16}}.
\end{align*}
Ainsi, l'équation admet deux solutions distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)-\sqrt{\Delta}}{2\times4}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\]

et

\[
x_2=\dfrac{-2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)+\sqrt{\Delta}}{2\times4}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}{8}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Ainsi, \[ \boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\sqrt3}{2}~;~\dfrac{\sqrt2}{2}\right\}} \]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\subsection*{Avec paramètre}

\begin{exocor}{}[1]
On considère le trinôme $x^2+mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux réels.

\medskip

\`A quelles conditions sur $m$ et $p$ ce trinôme admet au moins une racine ?

\tcblower

On sait qu'un trinôme admet au moins une racine lorsque son discriminant $\Delta$ est positif ou nul.

Ici, 
\[ \Delta = m^2-4p.\]

Il faut donc que :
\[ m^2\geqslant4p\]
pour que le trinôme ait au moins une racine.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
Montrer que, pour tout $k$ dans $\R\setminus\{-1\}$, le polynôme :
\[
P(x)=(k+1)x^2+2kx+(k-1)
\]

admet toujours deux racines distinctes.

\tcblower

Le discriminant de :
\[
P(x)=(k+1)x^2+2kx+(k-1)
\]
est :
\begin{align*}
\Delta & = (2k)^2-4\times(k+1)\times (k-1)\\[6pt]
& = 4k^2-4(k^2-1)\\[6pt]
& = 4>0.
\end{align*}

Donc $P$ admet toujours deux racines, quelle que soit la valeur de $k$.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère le trinôme suivant :
\[
(m+3)x^2 + 2(3m+1)x + (m+3).
\]
Pour quelles valeurs de $m$ a-t-il une racine double ?

Calculer alors cette racine.

\tcblower

\youtube{https://www.youtube.com/watch?v=MRMOVEjeeMs}

Le trinôme admet une racine double si $\Delta=0$. Or,
\begin{align*}
\Delta &= b^2-4ac\\
& = \big[2(3m+1)\big]^2 - 4\times(m+3)\times(m+3)\\
& = 4(3m+1)^2 - 4(m+3)^2\\
& = 4\big[ \underbrace{(3m+1)^2}_{=A^2} - \underbrace{(m+3)^2}_{=B^2} \big] &   A^2-B^2=(A-B)(A+B)\\
& = 4\big[ (3m+1)-(m+3) \big] \big[ (3m+1) + (m+3) \big]\\
& = 4(3m+1-m-3)(3m+1+m+3)\\
& = 4(2m-2)(4m+4)
\end{align*}

Ainsi, 
\begin{align*}
\Delta=0 & \iff 4(2m-2)(4m+4)=0\\
& \iff 2m-2=0 \qquad \text{ou}\qquad 4m+4=0\quad\text{(théorème du produit nul)}\\
& \iff 2m = 2\qquad\text{ou}\qquad 4m=-4\\
& \iff m=1 \qquad\text{ou}\qquad m=-1.
\end{align*}

\underline{Par conséquent, le trinôme admet une racine double pour $m=1$ ou $m=-1$.}

\bigskip

Dans un tel cas, la racine double est égale à :
\[
\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2(3m+1)}{2(m+3)}=-\dfrac{3m+1}{m+3}.
\]
Ainsi,
\begin{itemize}
\item pour $m=1$, la racine double vaut $\alpha=\dfrac{3\times1+1}{1+3}=-1$,
\item pour $m=-1$, la racine double vaut $\alpha=-\dfrac{3\times(-1)+1}{-1+3}=1$.
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère l'équation suivante :
\[
(4m+1)x^2 - 4mx + m-3 = 0.
\]
Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ admet-elle des solutions distinctes ?

\tcblower

L'équation admet deux solutions distinctes uniquement si $\Delta>0$. Or,
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = (-4m)^2 - 4\times(4m+1)\times(m-3)\\
& = 16m^2-4(4m+1)(m-3)\\
& = 16m^2-4(4m^2-12m+m-3)\\
& = 16m^2 - 4(4m^2-11m-3)\\
& = 16m^2-16m^2+44m+12\\
& = 44m+12.
\end{align*}

Ainsi,
\begin{align*}
\Delta > 0 & \iff 44m+12>0\\
& \iff 44m > -12\\
& \iff m > \dfrac{-12}{44}\\
& \iff m > -\dfrac{3}{11}.
\end{align*}

\underline{Par conséquent, l'équation admet deux solutions distinctes pour $m>-\dfrac{3}{11}$.}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère l'équation :
\[
(2m+1)x^2+(m-1)x+(m+4)(m-1)=0.\tag{$E_m$}
\]

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Pour $m=0$, donner les solutions de $(E_0)$.

\item Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $(E_m)$ admet-elle une unique solution ?

\item Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $(E_m)$ admet-elle $x=1$ pour solution ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Pour $m=0$, on a :
\[
(E_0)\qquad:\qquad x^2-x-4=0
\]

Le discriminant du polyn\^ome $x^2-x-4$ est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = (-1)^2-4\times1\times(-4)\\
& = 1+16\\
& = 17.
\end{align*}

\newpage

Ainsi, $\Delta>0$ donc il y a deux solutions à l'équation $(E_0)$ qui sont :

\[
\alpha = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}
\qquad
\text{et}
\qquad
\beta = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}.
\]

L'ensemble solution de $(E_0)$ est donc :
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}~;~\dfrac{1+\sqrt{17}}{2} \right\}}
\]

\item L'équation $(E_m)$ admet une unique solution lorsque le discriminant du membre de gauche est égal à 0. Ce discriminant est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = (m-1)^2-4(2m+1)(m+4)(m-1)\\
& = (m-1)\big[(m-1)-4(2m+1)(m+4)\big]\\
& = (m-1)\big[m-1-4(2m^2+8m+m+4)\big]\\
& = (m-1)(m-1-8m^2-36m-16)\\
& = (m-1)(-8m^2-35m-17).
\end{align*}
\begin{align*}
\Delta=0 & \Longleftrightarrow m-1=0\qquad\text{ou}\qquad-8m^2-35m-17=0\\
& \Longleftrightarrow m=1\qquad\qquad\text{ou}\qquad8m^2+35m+17=0
\end{align*}

Le discriminant du polyn\^ome $8m^2+35m+17$ est :
\[ \delta=35^2-4\times8\times17=681\;,\]
donc ce polyn\^ome admet deux racines :

\[
m_1 = \dfrac{-35-\sqrt{681}}{16}\qquad\text{et}\qquad m_2=\dfrac{-35+\sqrt{681}}{16}.\]

Ainsi, l'équation $(E_m)$ admet une unique solution pour trois valeurs de $m$ :
\[ m=1\qquad ; \qquad m=\dfrac{-35-\sqrt{681}}{16}\qquad ; \qquad m=\dfrac{-35+\sqrt{681}}{16}.\]

\item $(E_m)$ admet 1 pour solution si, en remplaçant $x$ par 1 dans l'équation, l'égalité est vérifiée :

\begin{align*}
\text{1 est solution de }(E_m) & \Longleftrightarrow (2m+1)\times1^2+(m-1)\times1+(m+4)(m-1)=0\\
& \Longleftrightarrow 2m+1+m-1+m^2-m+4m-4=0\\
& \Longleftrightarrow m^2+6m-4=0.
\end{align*}

Le discriminant du polyn\^ome $m^2+6m-4$ est :
\begin{align*}
\Delta & = b^2-4ac\\
& = 6^2-4\times1\times(-4)\\
& = 36+16\\
& = 52.
\end{align*}

Il existe donc deux solutions à l'équation $m^2+6m-4=0$ :

\[
m_1=\dfrac{-6-\sqrt{52}}{2}=-3-\sqrt{13}\qquad\text{et}\qquad m_2=-3+\sqrt{13}.
\]

\underline{Ainsi, $x=1$ est solution de l'équation $(E_m)$ pour $m=-3+\sqrt{13}$ et pour $m=-3-\sqrt{13}$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{intersection}[2]
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :
\[
f(x)=2x^2-5x+1.
\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=mx-4$, où $m$ est un nombre réel.

\bigskip

Déterminer les valeurs de $m$ telles que $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ aient exactement deux points d'intersection.
\vspace*{-.15em}

\tcblower

L'existence de points d'intersection entre $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ est conditionnée par le fait que l'équation $f(x)=mx-4$ aient deux  solutions. En effet, si on note $A\coord{x}{f(x)}$ un point de $\mathcal{C}$ et B$\coord{x}{mx-4}$ un point de $\mathcal{D}$, A et B sont confondus si leurs ordonnées sont égales, donc si $f(x)=mx-4$.
\begin{align*}
f(x)=mx-4 & \iff 2x^2-5x+1=mx-4\\
& \iff 2x^2 - 5x-mx+1+4=0\\
& \iff 2x^2 -(m+5)x+5 = 0.
\end{align*} 
Cette dernière équation admet deux solutions si $\Delta>0$:
\begin{align*}
\Delta>0 & \iff (m+5)^2-4\times2\times5 > 0\\
& \iff m^2+10m+25-40 > 0\\
& \iff m^2+10m-15>0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $m^2+10m-15$ est :
\[
\Delta^\prime=100-4\times(-15)=160
\]
donc il admet deux racines $m_1$ et $m_2$:
\[
m_1=\dfrac{-10-\sqrt{160}}{2}=-5-2\sqrt{10}
\]
et sa conjuguée:
\[
m_2=-5+2\sqrt{10}.
\]
On a alors le tableau de signes suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=1.5,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$m^2+10m-15$/0.7}{$-\infty$,$m_1$,$m_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, $\Delta^\prime>0$, et donc $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ admettent deux points d'intersection, si :
\[
m\in\intervOO{-\infty}{-5-2\sqrt{10}}\cup\intervOO{-5+2\sqrt{10}}{+\infty}.
\]
\end{exocor}


\subsection*{Factorisations}

%%%

\begin{exocor}{trouver la bonne courbe}[2]
On considère la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=3x^3+2x^2-3x-2.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(1)=0$.
\item En déduire une factorisation de $f(x)$ sous la forme $f(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
\item En déduire la courbe représentative de $f$ parmi les trois proposées ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=0.7]
\node[fill=purple!20,text=purple] at (0,-5) {$a$};
\draw[thick,->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,5);
\draw (-1,0.1) -- (-1,-0.1) node[below] {$-1$};
\draw (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {$1$};
\foreach\y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {$0$};
\clip (-2,-4) rectangle (2,5);
\draw[thick,purple] plot[domain=-5:4,samples=100] (\x,{3*\x*\x*\x+2*\x*\x-3*\x-2});
\end{tikzpicture}
\qquad
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=0.7]
\node[fill=purple!20,text=purple] at (0,-5) {$b$};
\draw[thick,->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,5);
\draw (-1,0.1) -- (-1,-0.1) node[below] {$-1$};
\draw (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {$1$};
\foreach\y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {$0$};
\clip (-2,-4) rectangle (2,5);
\draw[thick,purple] plot[domain=-5:4,samples=100] (\x,{-3*\x*\x*\x+2*\x*\x+3*\x+2});
\end{tikzpicture}
\qquad
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=0.7]
\node[fill=purple!20,text=purple] at (0,-5) {$c$};
\draw[thick,->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[thick,->] (0,-4) -- (0,5);
\draw (-1,0.1) -- (-1,-0.1) node[below] {$-1$};
\draw (1,0.1) -- (1,-0.1) node[below] {$1$};
\foreach\y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3}
{
	\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\node[below left] at (0,0) {$0$};
\clip (-2,-4) rectangle (2,5);
\draw[thick,purple] plot[domain=-5:4,samples=100] (\x,{(\x-1)*(\x*\x+\x+2)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(1)=3\times1^3+2\times1^2-3\times1-2=3+2-3-2=0$.
\item $\begin{aligned}[t]
(x-1)(ax^2+bx+c) & = ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c\\
& = ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c
\end{aligned}$

Ainsi, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
f(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) & \iff 3x^3+2x^2-3x-2=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c
\\ 
& \iff 
\begin{cases}
a & = 3\\
b-a & = 2\\
c-b & = -3\\
-c & = -2
\end{cases}
\qquad \iff
\begin{cases}
a=3\\
b=5\\
c=2
\end{cases}
\end{align*}

On a alors :
\[
f(x)=(x-1)(3x^2+5x+2).
\]

\item $f(1)=0$ donc ${\cal C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $x=1$. On peut donc éliminer la courbe $b$.

De plus, le discriminant de $3x^2+5x+2$ est :
\[ \Delta=25-24=1>0\;, \]
donc ce polynôme admet 2 racines distinctes, ce qui signifie que ${\cal C}_f$ coupe l'axe des abscisses en 3 points distincts.

\medskip

\textit{Ainsi, la courbe $a$ est celle qui représente la fonction $f$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%
\enlargethispage*{3cm}
\begin{exocor}{polynôme de degré 3}[2]
On considère le polynôme $P(x)=2x^3+7x^2+7x+2$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $x=-2$ est une racine de $P$.
\item Factoriser alors $P(x)$ sous la forme $P(x)=(x+2)Q(x)$, où $Q$ est un trinôme de degré 2.
\item Résoudre alors l'équation $P(x)=0$.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
P(-2) & = 2\times(-2)^3+7\times(-2)^2+7\times(-2)+2\\
& = -16+28-14+2\\
& = -30+30\\
& = 0.
\end{aligned}$

\underline{$P(-2)=0$ donc $x=-2$ est une racine de $P$.}

\item $\begin{aligned}[t]
P(x) & =(x+2)(ax^2+bx+c)\\
& = ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c\\
& = ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c
\end{aligned}$

Ainsi, on souhaite que, pour tout réel $x$ :
\[ 2x^3+7x^2+7x+2=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c.\]
Par identification des coefficients, on a :
\[
\begin{cases}
2 = a\\
7 = b+2a\\
7 = c+2b\\
2 = 2c
\end{cases}
\]
On en déduit que $a=2$ et $c=1$. Par suite, à l'aide de la troisième équation (par exemple), on trouve $b=3$.

Finalement, on obtient :

\[
\boxed{P(x)=(x+2)(2x^2+3x+1)}
\]

\item $P(x)=0\Longleftrightarrow x+2=0\qquad\text{ou}\qquad 2x^2+3x+1=0$.

Le discriminant de $2x^2+3x+1=0$ est $\Delta=9-8=1$ donc il admet deux racines : \\$\alpha=\dfrac{-3-1}{4}=-1$ et $\beta=\dfrac{-3+1}{4}=-\dfrac{1}{2}$.

Par conséquent, l'ensemble solution de l'équation $P(x)=0$ est :
\[
\boxed{S=\left\{-2~;-1~;-\dfrac{1}{2}\right\}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{polynôme de degré 4}[2]
On considère le polynôme $P(x)=10x^4-29x^3-34x^2+107x-42$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(3)$ et $P(-2)$.
\item En déduire que $P(x)=A(x)\times B(x)$, où $A$ et $B$ sont deux polynômes de degré 2 que l'on déterminera.
\item En déduire les racines de $P$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $P(3)=0$ et $P(-2)=0$.
\item On en déduit que $P(x)=(x-3)(x+2)(ax^2+bx+c)$, soit $P(x)=(x^2-x-6)(ax^2+bx+c)$.
\begin{align*}
(x^2-x-6)(ax^2+bx+c) & = ax^4+bx^3+cx^2-ax^3-bx^2-cx-6ax^2-6bx-6c\\[6pt]
& = ax^4+(b-a)x^3+(c-b-6a)x^2+(-c-6b)x-6c\\[6pt]
& = 10x^4-29x^3-34x^2+107x-42
\end{align*}
Donc :

\[
\begin{cases}
a&=10\\
b-a&=-29\\
c-b-6a&=-34\\
-c-6b&=107\\
-6c&=-42
\end{cases}
\]

\medskip

On en déduit que $a=10$ et $c=7$, puis que $b=-29+a=-19$.

Finalement, $\boxed{P(x)=(x^2-x-6)(10x^2-19x+7)}$.

\item Le discriminant du polynôme $10x^2-19x+7$ est :
\[
\Delta=(-19)^2-4\times10\times7=81=9^2.
\]
Ses deux racines sont alors :
\[
x_1=\dfrac{19-9}{20}=\dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{19+9}{20}=\dfrac{7}{5}.
\]

Les racines de $P$ sont donc : $-2$, 3, $\dfrac{7}{5}$ et $\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Inéquations}

%%%

\begin{exocor}{résolution d'inéquations}[1]
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x^2+x+1<0$
\item $2x^2-5x+3\leqslant0$
\item $-x^2+3x-2>0$
\item $-5x^2-9x+3\leqslant0$
\columnbreak
\item $3x^2-7x+10\geqslant0$
\item $4x^2-20x+25>0$
\item $\dfrac{1-4x}{x^2-3x+2}\geqslant0$
\item $(2x-3)(-2x^2+5x+3)<0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $x^2+x+1<0$.

Le discriminant de $x^2+x+1$ est $\Delta=1-4\times1\times1=-3<0$ donc le trinôme est du signe du coefficient de $x^2$, soit \og 1 \fg{} ici, donc positif.

L'ensemble solution est donc :
\[
\boxed{S=\varnothing}
\]

\item $2x^2-5x+3\leqslant0$

Le discriminant de $2x^2-5x+3$ est $\Delta=25-24=1$. Il y a donc deux racines : $\alpha=\dfrac{5-1}{4}=1$ et $\beta=\dfrac{5+1}{4}=\dfrac{3}{2}$.

Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $-a$ entre ses racines, donc $2x^2-5x+3\leqslant0$ pour $x\in\intervFF{1}{\dfrac{3}{2}}$.
\[
\boxed{S=\intervFF{1}{\dfrac{3}{2}}}
\]

\item $-x^2+3x-2>0$

Le discriminant de $-x^2+3x-2$ est $\Delta=9-4\times(-1)\times(-2)=1$ donc il admet deux racines distinctes : $\alpha=\dfrac{-3-1}{-2}=2$ et $\beta=\dfrac{-3+1}{-2}=1$.

Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $-a$ entre ses racines donc l'ensemble solution de l'inéquation est  :
\[
\boxed{S=\intervOO{1}{2}}
\]

\item $-5x^2-9x+3\leqslant0$.

Le discriminant de $-5x^2-9x+3$ est $\Delta=81-4\times(-5)\times3=21$ donc il admet deux racines : $\alpha=\dfrac{9-\sqrt{21}}{-10}=\dfrac{-9+\sqrt{21}}{10}$ et $\beta=\dfrac{-9-\sqrt{21}}{10}$.

Le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ (donc négatif) à l'extérieur des racines, donc l'ensemble solution de l'inéquation est :
\[
\boxed{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{-9+\sqrt{21}}{10}}\cup\intervFO{\dfrac{-9+\sqrt{21}}{10}}{+\infty}}
\]

\item $3x^2-7x+10\geqslant0$

Le discriminant de $3x^2-7x+10$ est $\Delta=49-4\times3\times10=-71<0$ donc il est toujours du signe de \og 3 \fg, donc positif. L'ensemble solution est donc :
\[
\boxed{S=\R}
\]

\item $4x^2-20x+25>0$

Le discriminant de $4x^2-20x+25$ est $\Delta=400-4\times4\times25=0$. Par conséquent, il est du signe de \og 4 \fg{}  (donc positif) tout le temps sauf en sa racine $\alpha=-\dfrac{-20}{2\times4}=\dfrac{5}{2}$ (où il est nul). Par conséquent, l'ensemble solution de l'inéquation est :
\[
\boxed{S=\R\setminus\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}
\]

\item $\dfrac{1-4x}{x^2-3x+2}\geqslant0$

Le discriminant de $x^2-3x+2$ est $\Delta=9-8=1$. Par conséquent, il admet deux racines distinctes $\alpha=\dfrac{3-1}{2}=1$ et $\beta=\dfrac{3+1}{2}=2$.
On en déduit le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20, espcl = 1.5]
	{$x$/0.8,%
	$1-4x$/0.5,%
	$x^2-3x+2$/0.5,%
	$\dfrac{1-4x}{x^2-3x+2}$/1.5}
	{$-\infty$,$\frac{1}{4}$,1,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,,-,,-}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution de l'inéquation est alors :
\[
\boxed{S=\intervOF{-\infty}{\dfrac{1}{4}}\cup\intervOO{1}{2}}
\]

\item $(2x-3)(-2x^2+5x+3)<0$

Le discriminant de $-2x^2+5x+3$ est $\Delta=25+24=49$ donc il admet deux racines : \mbox{$\alpha=\dfrac{-5-7}{-4}=3$} et $\beta=\dfrac{-5+7}{-4}=-\dfrac{1}{2}$. On en déduit le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=5,espcl=1.5,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.9,$2x-3$/0.7,$-2x^2+5x+3$/0.7,$(2x-3)(-2x^2+5x+3)$/0.7}{$-\infty$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$,3,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+,z,-}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution de l'inéquation est alors :
\[
\boxed{S=\intervOO{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}}\cup\intervOO{3}{+\infty}}
\]

\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{inéquation-quotient}[2]
Résoudre l'inéquation : $\dfrac{7x-10}{5x-17}\geqslant\dfrac{25(x+2)}{10x^2-49x+51}$.

\tcblower

Avant toute chose, on cherche le domaine de validité de l'inéquation.

\medskip

Cette inéquation existe lorsque :
\[
\begin{cases}
5x-17\neq0\\
10x^2-49x+51\neq0
\end{cases}
\]

Le discriminant du polynôme $10x^2-49x+51$ est :
\begin{align*}
\Delta & = (-49)^2-4\times10\times51\\
& = 361\\
& = 19^2 >0
\end{align*}
donc il admet deux racines distinctes :
\[
x_1=\dfrac{-(-49)-19}{2\times10}=\dfrac{3}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{49+19}{20}=\dfrac{17}{5}.
\]
Il peut donc se factoriser sous la forme :
\begin{align*}
10x^2-49x+51 & =10\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\
& = 5\times2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\
& = 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\times5\left(x-\dfrac{17}{5}\right)\\
& = (2x-3)(5x-17).
\end{align*}
Cette factorisation va être importante pour la résolution de l'inéquation.

\medskip

Le domaine de validité de l'inéquation est donc $\R\setminus\left\lbrace\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{17}{5}\right\rbrace$.

\begin{align*}
\dfrac{7x-10}{5x-17}\geqslant\dfrac{25(x+2)}{10x^2-49x+51} & 
\iff \dfrac{7x-10}{5x-17}-\dfrac{25(x+2)}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{7x-10}{5x-17}-\dfrac{25(x+2)}{(2x-3)(5x-17)}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{(7x-10)(2x-3)}{(5x-17)(2x-3)}-\dfrac{25(x+2)}{(2x-3)(5x-17)}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{14x^2-21x-20x+30-25x-50}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{14x^2-66x-20}{10x^2-49x+51}\geqslant0\\
& \iff \dfrac{2(7x^2-33x-10)}{10x^2-49x+51}\geqslant0
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $7x^2-33x-10$ est :
\begin{align*}
\Delta' & = (-33)^2-4\times7\times(-10)\\
& = \numprint{1369}\\
& = 37^2 >0.
\end{align*}
Donc il admet deux racines distinctes : $\alpha=\dfrac{-(-33)-37}{2\times7}=-\dfrac{2}{7}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{33+37}{14}=5$.

En utilisant la propriété du signe d'un trinôme du second degré, on obtient le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=1.5,lgt=4,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.8,$7x^2-33x-10$/0.5,$10x^2-49x+51$/0.5,$\dfrac{2(7x^2-33x-10)}{10x^2-49x+51}$/1.2}{$-\infty$,$-\frac{2}{7}$,3,$\frac{17}{5}$,5,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,,+,z,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ainsi, $\boxed{S=\intervOF{-\infty}{-\dfrac{2}{7}}\cup\intervOO{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{17}{5}}\cup\intervFO{5}{+\infty}}$.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{inéquations-quotients, le retour}[2]
Résoudre les inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{5x^2-3x-2}{x^2+x+1} < 0$
\item $\dfrac{-3x^2-5x+2}{x^2+x-6} < 0$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On recherche d'abord les valeurs interdites, donc les valeurs de $x$ pour lesquelles:
\[
x^2+x+1=0
\]
Le discriminant de $x^2+x+1$ est :
\[
\Delta = b^2-4ac = 1^2-4\times1\times1 = -3.
\]
$\Delta<0$ donc le dénominateur n'admet aucune racine; il ne s'annule donc pas.

Il n'y a donc pas de valeurs interdites; par conséquent, le domaine de définition de l'inéquation est : $\R$.

\item Recherche des racines du numérateur : $5x^2-3x-2$.

\[ \Delta = b^2-4ac=(-3)^2-4\times5\times(-2)=9+40=49.
\]
Il y a donc deux racines :
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3-7}{10}=-\frac{2}{5}
\]
et
\[
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{3+7}{10}=1.
\]
\item On déduit alors le tableau de signes suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$5x^2-3x-2$/0.5,$x^2+x+1$/0.5,$\dfrac{5x^2-3x-2}{x^2+x+1}$/1.5}{$-\infty$,$-\frac{2}{5}$,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\tkzTabLine{,+,,+,,+,}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution de l'inéquation est donc :
\[
\boxed{S = \intervOO{-\dfrac{2}{5}}{1}}
\]

\item On cherche avant tout les valeurs interdites, donc les valeurs de $x$ pour lesquelles :
\[
x^2+x-6=0.
\]

$\Delta = b^2-4ac=1^2-4\times1\times(-6)=25>0$.

Donc il y a deux valeurs interdites :
\[
x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3
\]
et
\[
x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2.
\]
Le domaine de définition de l'inéquation est donc : $\R\setminus\{-3;2\}$.

\item On cherche maintenant les racines du numérateur: $-3x^2-5x+2$.
\[
\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4\times(-3)\times2 = 49.
\]
Il y a donc deux racines :
\[
x_3=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{49}}{-6}=\frac{1}{3}
\]
et
\[
x_4=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{49}}{-6}=-2.
\]

\item On construit le tableau de signes de la fraction:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2,color,colorC = numpagecorrige!20,colorL = numpagecorrige!20,colorV = numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$-3x^2-5x+2$/0.5,$x^2+x-6$/0.5,$\dfrac{-3x^2-5x+2}{x^2+x-6}$/1.5}{$-\infty$,$-3$,$-2$,$\frac{1}{3}$,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,z,-,,-}
\tkzTabLine{,+,z,-,,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,d,+,z,-,z,+,d,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
L'ensemble solution est donc:
\[
\boxed{S = \intervOO{-\infty}{-3}\cup\intervOO{-2}{\dfrac{1}{3}}\cup\intervOO{2}{+\infty}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%
\newpage
\subsection*{Exercices de recherche}

\begin{exocor}{deux aires égales}[1]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\filldraw[fill=purple!20,draw=black] (0,0) rectangle +(5,3);
\draw (-1,-1) rectangle +(7,5);
\draw[<->,>=latex] (6.5,-1) -- (6.5,4) node[midway,fill=pageenonce!30] {16};
\draw[<->,>=latex] (-1,-1.6) -- (6,-1.6) node[midway,fill=pageenonce!30] {30};
\draw[<->,>=latex] (2.5,-1) -- (2.5,0) node[right,midway] {$x$};
\draw[<->,>=latex] (2.5,3) -- (2.5,4) node[right,midway] {$x$};
\draw[<->,>=latex] (-1,1.5) -- (0,1.5) node[below,midway] {$x$};
\draw[<->,>=latex] (5,1.5) -- (6,1.5) node[below,midway] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Déterminer $x$ de sorte que l'aire de la partie blanche de la figure ci-dessus soit égale à celle du rectangle plein.

\tcblower

Notons ${\cal A}$ l'aire du \og grand rectangle \fg{} à l'intérieur duquel se trouve le rectangle plein, dont l'aire sera notée ${\cal A}'$.

${\cal A}-{\cal A}'$ désignera donc l'aire de la partie blanche.
\begin{align*}
{\cal A}-{\cal A}' 
& = 30\times16 - (30-2x)(16-2x)\\
& = 480 - (480 -60x-32x+4x^2)\\
& = 92x-4x^2.
\end{align*}

Ainsi, l'aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur si :
\begin{align*}
92x-4x^2 = 480 -92x+4x^2 & \iff 8x^2-184x+480=0\\
& \iff x^2-23x+60=0 \quad\text{(en divisant les deux membres par 8)}
\end{align*}
Le discriminant de $x^2-23x+60$ est :
\[
\Delta=(-23)^2-4\times60=289=17^2\]
donc les solutions de l'équation $x^2+23x+60=0$ sont :
\[
x_1=\dfrac{23-17}{2}=3\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{23+17}{2}=20.
\]
Or, $0\leqslant x\leqslant8$ car la largeur du rectangle extérieur est égale à 16 et que $x$ ne peut excéder sa moitié.

\medskip

\uline{Ainsi, pour $x=3$, l'aire de la partie blanche est égale à celle du rectangle intérieur.}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{un peu de sciences physiques}[1]
On dispose de deux conducteurs de résistances $R_1$ et $R_2$.

Si on les monte en série (figure 1), on obtient un dipôle ohmique de résistance $r=R_1+R_2$.

Si on les monte en parallèle (figure 2), on obtient un dipôle ohmique de résistance $R$ telle que $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[*-*] (0,0) -- (8,0);
\node[fill=green!30,draw=black,minimum width=2cm] at (2.5,0) {$R_1$};
\node[fill=purple!30,draw=black,minimum width=2cm] at (5.5,0) {$R_2$};
\end{tikzpicture}

\medskip

En série -- Figure 1
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[*-] (0,0) -- (1,0);
\draw (1,-1) rectangle +(4,2);
\draw[-*] (5,0) -- (6,0);
\node[fill=green!30,draw=black,minimum width=2cm] at (3,1) {$R_1$};
\node[fill=purple!30,draw=black,minimum width=2cm] at (3,-1) {$R_2$};
\end{tikzpicture}

\medskip

En parallèle -- Figure 2
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On sait que $r=10~\Omega$ et $R=2~\Omega$.

Trouvez $R_1$ et $R_2$.

\item Reprenez la question précédente avec $r=4~\Omega$ et $R=1~\Omega$.

\item On conna\^it $r$ et $R$.

Montrez que l'on peut alors calculer $R_1$ et $R_2$ à la seule condition que $r\geqslant4R$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$ donc $R=\dfrac{R_1R_2}{r}$, ce qui donne :
\[
2=\dfrac{R_1R_2}{10}\qquad\text{soit :}\qquad R_1R_2=20.
\]
D'après le cours, on sait que $P=R_1R_2=20$ et $S=R_1+R_2=10$ et donc que $R_1$ et $R_2$ sont racines du trinôme :
\[ x^2-Sx+P\qquad\text{soit : }\qquad x^2-10x+20\;,\]
dont le discriminant est :
\[
\Delta=(-10)^2-4\times1\times20=100-80=20.
\]
Les deux racines sont donc :
\[
R_1=\dfrac{10-\sqrt{20}}{2}=5-\sqrt{5}\qquad\text{et}\qquad R_2=5+\sqrt{5}.
\]

\item On a d'une part :
\[
R=\dfrac{R_1R_2}{r}\Longleftrightarrow1=\dfrac{R_1R_2}{4}\Longleftrightarrow P=R_1R_2=4
\]
et d'autre part $S=R_1+R_2=4$.

Le trinôme $x^2-Sx+P=x^2-4x+4$ a pour discriminant :
\[
\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=0.
\]
On peut donc dire que $R_1=R_2=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{4}=1$.

\item Nous l'avons vu, on ne peut calculer $R_1$ et $R_2$ que lorsque le discriminant de $x^2-Sx+P$ est supérieur ou égal à 0, soit lorsque :
\[ S^2-4P\geqslant0\]
donc :
\[
r^2-4rR\geqslant0
\]
ou encore :
\[
r(r-4R)\geqslant0.
\]
Or, $r\neq0$ donc cette dernière inéquation donne, en simplifiant par $r$ :
\[ r\geqslant4R.\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{trouver deux nombres}[2]
Deux entiers naturels ont pour différence 7, et la différence entre leur produit et leur somme est égale à 43. Trouver ces deux nombres.
\vspace*{-1em}

\tcblower

Notons $x$ et $y$ les deux nombres. On sait alors d'après l'énoncé que :
\[
\begin{cases}
x-y=7\\
xy-(x+y)=43
\end{cases}
\]
La première équation nous donne :
\[ 
x=7+y
\]
donc en remplaçant $x$ par cette dernière expression dans la seconde équation, on a :
\begin{align*}
(7+y)y-(7+y+y)=43 
& \iff 7y+y^2-7-2y=43\\
& \iff y^2+5y-50=0.
\end{align*}
Le discriminant de $y^2+5y-50$ est :
\[
\Delta = 5^2-4\times(-50)=25+200=225=15^2
\]
donc deux valeurs sont possibles pour $y$ :
\[
y_1=\dfrac{-5-15}{2}=-10\qquad\text{et}\qquad y_2=\dfrac{-5+15}{2}=5.
\]
Or, $y\in\N$ donc $y\neq-10$ ; seule $y=5$ est une valeur possible. 

On en déduit alors que $x=7+y=7+5=12$.

\medskip

\uline{Les deux nombres sont donc 5 et 12.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
Dans un quart de cercle, on considère le rectangle bleu suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\draw (0,15) -- (0,0) -- (15,0) arc(0:90:15);
\filldraw[fill=blue!10] (9,0) -- (9,12) -- (0,12) -- (0,0) -- cycle;
\draw[<->,>=latex] (9,-.5) -- (15,-.5) node[midway,below] {6};
\draw[<->,>=latex] (-.5,12) -- (-.5,15) node[midway,left] {3};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Quelle est l'aire du rectangle bleu ?

\tcblower

Notons $r$ le rayon du quart-de-cercle, $r\geqslant6$. D'après le théorème de Pythagore,
\[
r^2 = (r-6)^2 + (r-3)^3  \iff r^2 -18r + 45 = 0.
\]
Le discriminant de $r^2 -18r + 45$ est:
\[
\Delta=b^2-4ac=144,
\]
donc il admet deux racines:
\[
r_1 = \frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=3\qquad\text{et}\qquad r_2=\frac{45}{3}=15.
\]
La dernière égalité a été obtenue à partir de la propriété $r_1r_2=\dfrac{c}{a}$.

\medskip

Or, le rayon ne peut pas être égal à 3, donc $r=15$.

\medskip

\underline{Ainsi, l'aire du rectangle est égale à $(15-6)(15-3)=108$.}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{à chaque courbe son polynôme}[2]
Nous avons tracé dans le repère ci-dessous des paraboles.

\medskip

Retrouver les trinômes (sous la forme développée) correspondant à chacune d'elles.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\rep{-6}{-6}{6}{6}
\draw[blue,thick] plot[domain=-6:6,samples=70] (\x,{-\x*\x+2*\x+3});
\node[blue] at (4.5,-5.5) {$\mathcal{P}_1$};
%
\draw[red,thick] plot[domain=-6:6,samples=70] (\x,{0.5*\x*\x-\x+1});
\node[red] at (4.5,5.5) {$\mathcal{P}_2$};
%
\draw[green!50!black,thick] plot[domain=-6:6,samples=70] (\x,{-0.5*\x*\x-2*\x-3});
\node[green!50!black] at (-5.5,-5.5) {$\mathcal{P}_3$};
%
\draw[prop,thick] plot[domain=-6:6,samples=70] (\x,{0.25*\x*\x+\x+1});
\node[prop] at (-5.3,3.5) {$\mathcal{P}_4$};
%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{itemize}
\item \textcolor{blue}{Pour $\mathcal{P}_1$}.

\medskip

On voit que ses deux racines sont $\alpha=-1$ et $\beta=3$.

Par conséquent, le trinôme est de la forme $f_1(x)=a(x+1)(x-3)$.

Le sommet de la parabole est le point de coordonnées \coord{1}{4} donc $f_1(1)=4$. Ainsi,
\[
a(1+1)(1-3)=4 \Longleftrightarrow -4a=4 \Longleftrightarrow a=-1.
\]
On a donc :
\[
f_1(x)=-(x+1)(x-4)\qquad\text{soit}\qquad\boxed{f_1(x)=-x^2+3x+4}
\]

\item \textcolor{red}{Pour $\mathcal{P}_2$}.

\medskip

On voit que le trinôme n'a pas de racines car la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses.

Posons $f_2(x)=ax^2+bx+c$.

\begin{itemize}
\item La parabole passe par le point de coordonnées \coord{0}{1} donc $f_2(0)=1$, soit $c=1$.
\item La parabole passe par le point de coordonnées \coord{2}{1} donc $f_2(2)=1$, soit\\ $a\times2^2+2b+1=1$, soit $4a+2b=0$ ou encore $b=-2a$.

On peut alors écrire : $f_2(x)=ax^2-2ax+1$.
\item La parabole passe par le point de coordonnées \coord{4}{5} donc $f_2(4)=5$, soit\\ $16a-8a+1=5$, ou encore $8a=4$. Donc $a=\dfrac{1}{2}$
\end{itemize}

On en déduit alors que $a=\dfrac{1}{2}$, $b=-2\times\dfrac{1}{2}=-1$ et $c=1$. Donc :
\[
\boxed{f_2(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x+1}
\]

\item \textcolor{green!50!black}{Pour $\mathcal{P}_3$}.

\medskip

Posons $f_3(x)=ax^2+bx+c$.

\begin{itemize}
\item $A\coord{0}{-3}\in\mathcal{P}_3\Longrightarrow c=-3$.
\item $B\coord{-4}{-3}\in\mathcal{P}_3\Longrightarrow 16a-4b-3=-3$, soit $4a=b$. Donc $f_3(x)=ax^2+4ax-3$.
\item $C\coord{-2}{-1}\in\mathcal{P}_3\Longrightarrow 4a-8a-3=-1$, soit $-4a=2$ d'où $a=-\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
On en déduit :
\[
\boxed{f_3(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-2x-3}
\]

\item \textcolor{prop}{Pour $\mathcal{P}_4$}.

\medskip

L'axe des abscisses est tangent à la parabole donc $f_4(x)=a(x-\alpha)^2$. L'unique racine étant $-2$, on a $f_4(x)=a(x+2)^2$.

De plus, $f_4(0)=1$ et $f_4(0)=4a$ donc $a=\dfrac{1}{4}$. Finalement, on a :
\[
\boxed{f_4(x)=\dfrac{1}{4}x^2+x+1}
\]
\end{itemize}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{réunion de Noël}[2]
Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter Noël.
Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes.

Sachant qu'au total 468 cadeaux ont été déposés près de l'arbre de Noël, combien de personnes y avait-il ?

\tcblower

Notons $x$ le nombre total de personnes.

Une personne offre 3 cadeaux à $(x-1)$ personnes donc :
\[ 3x(x-1)=468\]
soit :
\[ x(x-1)=156\]
ou encore :
\[ x^2-x-156=0.\]
Le discriminant de $x^2-x-\numprint{156}$ est :
\[ \Delta=(-1)^2+4\times1\times\numprint{156}=\numprint{625}=25^2.\]
Il y a donc deux racines :
\[\alpha=\dfrac{-(-1)-25}{2}=-12<0\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{1+25}{2}=13>0.\]
Il n'y a donc qu'une solution à notre problème : il y a 13 personnes.
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{vers le nombre d'or}[2]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x^2=1+x.$

On notera $\varphi$ la solution positive.

\item Que vaut $N=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$ ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'équation est équivalente à 
\[
x^2-x-1=0.
\]
Le discriminant du trinôme est :
\[
\Delta=5
\]
donc les solutions de l'équation sont :
\[
\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
\]

\item On a :
\[
N^2=1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}=1+N.
\]
Donc $N$ est solution de l'équation de la question 1.

Comme $N>0$, on en déduit que :
\[
\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}=\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{famille de paraboles}[2]
On considère une famille de paraboles $\mathcal{P}_k$ d'équation $y=x^2-2kx+k^2+2k+1$, où $k\in\N$. 

On note $S_k$ le sommet de $\mathcal{P}_k$.

Montrer que tous les $S_k$ sont alignés.

\vspace*{-1.5em}
\tcblower

\begin{itemize}
\item \textbf{Méthode 1 : utilisation des formules du cours.} On sait que la parabole d'équation\linebreak $y=ax^2+bx+c$ a pour sommet $S$ d'abscisse $-\dfrac{b}{2a}$. 

Donc l'abscisse de $S_k$ est : $x_k=-\dfrac{-2k}{2}=k$.

L'ordonnée est obtenue en remplaçant $x$ par $x_k$ dans l'équation de la parabole : 
\[ y_k=k^2-2k\times k+k^2+2k+1=2k+1.
\]
Donc $y_k=2x_k+1$, ce qui signifie que $S_k$ est sur la droite d'équation $y=2x+1$. Ils sont donc alignés.

\bigskip

\item \textbf{Méthode 2 : forme canonique.} L'équation de $\mathcal{P}_k$ est :
\[
y=(x-k)^2+2k+1.
\]
Cette dernière écriture est la forme canonique de l'équation de $\mathcal{P}_k$, qui nous dit que son sommet à pour coordonnées \coord{k}{2k+1}.

Comme l'ordonnée de $S_k$ est égale au double de son abscisse augmenté de 1, ils appartiennent tous à la droite d'équation $y=2x+1$.

Les sommets sont donc bien tous alignés.

\item \textbf{Méthode 3 : utilisation des vecteurs.} On utilise la forme canonique précédente pour voir que $S_k\coord{k}{2k+1}$, et donc $S_{k+1}\coord{k+1}{2(k+1)+1}=\coord{k+1}{2k+3}$.

Ainsi, $\vv{S_kS_{k+1}}\dbinom{(k+1)-k}{(2k+3)-(2k+1)}=\dbinom{1}{2}$.

Par conséquent, quelle que soit la valeur de $k$, $\vv{S_kS_{k+1}}$ a toujours les mêmes coordonnées; donc, par exemple, $\vv{S_kS_{k+1}}=\vv{S_{k+1}S_{k+2}}$, ce qui signifie que tous les points $S_k$, $S_{k+1}$ et $S_{k+2}$ sont alignés. Comme ce résultat est valable pour toutes les valeurs de $k$, cela signifie que tous les points $S_k$ sont alignés.
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère un carré dans lequel se trouvent un demi-disque (vert) et un quart de disque (bleu) tangents, comme indiqués sur la figure ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw (0,0) rectangle +({3+3*sqrt(17)},{3+3*sqrt(17)});
\filldraw[fill=green!30] (0,{3+3*sqrt(17)}) arc(180:360:6);
\filldraw[fill=blue!30] ({3+3*sqrt(17)-12}, 0) -- ({3+3*sqrt(17)},0) -- ({3+3*sqrt(17)},12) arc(90:180:12);
\draw (0,4.5) node[left] {E} -- ({3+3*sqrt(17)},14.2) node[right] {F};
\draw[<->,>=latex] (0,{3+3*sqrt(17)+1}) -- (12,{3+3*sqrt(17)+1}) node[midway,fill=pageenonce!30] {12};
\draw[<->,>=latex] ({3+3*sqrt(17)+1},0) -- ({3+3*sqrt(17)+1},12) node[midway,fill=pageenonce!30] {12};
\node[below left] at (0,0) {A};
\node[below right] at ({3+3*sqrt(17)},0) {B};
\node[above right] at ({3+3*sqrt(17)},{3+3*sqrt(17)}) {C};
\node[above left] at (0,{3+3*sqrt(17)}) {D};
\draw (6,{3+3*sqrt(17)}) node[below left] {O} -- ({3+3*sqrt(17)},0);
\draw[<->,>=latex] (12,{3+3*sqrt(17)+1}) -- ({3+3*sqrt(17)},{3+3*sqrt(17)+1}) node[midway,fill=pageenonce!30] {$x$};
\node[left] at (8.7,10.3) {I};
\end{tikzpicture}
\end{center}

(EF) est tangente aux deux parties de disques. O est le centre du demi-disque vert. On note I le point d'intersection de (OB) et (EF).

Déterminer l'aire de ABCD.

\vspace*{-1.5em}

\tcblower

$OI=6$ et $IB=12$ donc $OB=18$.

Dans le triangle OCB, rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore,
\begin{align*}
(6+x)^2+(12+x)^2=18^2 & \iff 2x^2+36x-144=0\\
& \iff x^2 + 18x - 72 = 0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $x^2 + 18x - 72$ est:
\[
\Delta = 18^2-4\times(-72)=612>0
\]
donc il admet deux racines:
\[
x_1=\dfrac{-18-\sqrt{612}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{-18+\sqrt{612}}{2}
\]
soit:
\[
x_1=-9-3\sqrt{17}<0\qquad\text{et}\qquad x_2=3\sqrt{17}-9>0.
\]
Seule la racine positive nous intéresse car $x$ est une longueur.

\underline{Ainsi, $x=3\sqrt{17}-9$.}

\bigskip

L'aire de ABCD est donc égale à 
\[
(12+3\sqrt{17}-9)^2 = 162+18\sqrt{17}.
\]
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère un demi-cercle de centre O et de diamètre $[AB]$ tel que $AB=5$~cm.

Soit $C$ un point de ce demi-cercle. Le triangle $ABC$ est ainsi rectangle en $C$.

\medskip

Soit le carré $EFGH$ tel que:
\begin{itemize}
\item $E\in[BC]$ et $F\in[AC]$;
\item $G\in[AB]$ et $H\in[AB]$;
\item $(CG)$ coupe $[EF]$ en son milieu $I$.
\end{itemize}

On note $x$ la mesure des côtés de ce carré.

\bigskip


\definecolor{qqwwzz}{rgb}{0,0.4,0.6}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0,0.39215686274509803,0}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (2.6205266807797947,3.8102633403898967) -- (2.8102633403898976,3.430790021169691) -- (3.1897366596101033,3.620526680779794) -- (3,4) -- cycle; 
\fill[color=qqwwzz,fill=qqwwzz,fill opacity=0.1] (0.688,2.844) -- (3.578,2.844) -- (3.578,0) -- (0.688,0) -- cycle;
\draw (5,0) arc(0:180:5cm);
\draw (-5,0)-- (5,0);
\draw (-5,0)-- (3,4);
\draw (3,4)-- (5,0);
\draw (0.688,0)-- (3,4);
\draw [color=qqwwzz] (3.578,2.844)-- (3.578,0);
\draw [color=qqwwzz] (3.578,0)-- (0.688,0);
\draw [color=qqwwzz] (0.688,0)-- (0.688,2.844);
\draw [color=qqwwzz] (0.688,2.844)-- (2.3318320000000003,2.844);
\draw [color=qqwwzz] (1.4599160000000022,2.964) -- (1.4599160000000022,2.724);
\draw [color=qqwwzz] (1.5599160000000023,2.964) -- (1.5599160000000023,2.724);
\draw [color=qqwwzz] (2.3318320000000003,2.844)-- (3.578,2.844);
\draw [color=qqwwzz] (2.9049160000000027,2.964) -- (2.9049160000000027,2.724);
\draw [color=qqwwzz] (3.004916000000003,2.964) -- (3.004916000000003,2.724);
\draw  (0,0)-- ++(-2pt,0 pt) -- ++(4pt,0 pt) ++(-2pt,-2pt) -- ++(0 pt,4pt);
\draw (-0.01,-0.41) node {$O$};
\draw (-5.39,-0.11) node {$A$};
\draw (5.23,-0.05) node {$B$};
\draw (3.09,4.43) node {$C$};
\draw (3.77,3) node {$E$};
\draw (0.55,3) node {$F$};
\draw (2.2,3.1) node {$I$};
\draw (0.55,-0.25) node {$G$};
\draw (3.5,-0.25) node {$H$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles $AGC$ et $FIC$ sont semblables.

Exprimer alors $IC$, puis $IG$, en fonction de $x$.

\item En déduire que $x$ est solution de l'équation $x^2+5x-25=0$.

\item En déduire la valeur de $x$.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\widehat{AGC}=\widehat{FIC}$ et $\widehat{GAC}=\widehat{IFC}$ car $(FI)$ et $(AB)$ sont parallèles. Les triangles $AGC$ et $FIC$ sont donc semblables.

\medskip

$AGC$ étant isocèle en $G$, $FIC$ est isocèle en $I$; par conséquent, $IC=IF=\dfrac{1}{2}x$.

On en déduit alors que $GI=5-\dfrac{1}{2}x$.

\item Le triangle $FIG$ est rectangle en $F$ donc, d'après le théorème de Pythagore, 
\begin{align*}
IG^2=FI^2+FG^2 & \iff \left(5-\frac{x}{2}\right)^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2+x^2\\
& \iff 25-5x+\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}+x^2\\
& \iff x^2 +5x-25=0.
\end{align*}

\item Le discriminant du polynôme $x^2+5x-25$ est:
\[
\Delta=5^2-4\times1\times(-25)=125=\big(5\sqrt5\big)^2.
\]
Les deux solutions de l'équation $ x^2 +5x-25=0$ sont donc:
\[
x_1=\frac{-5-5\sqrt{5}}{2}\qquad\text{et}\qquad x_2=\frac{-5+5\sqrt{5}}{2}.
\]
La seule solution qui convient à notre problème est $x_2$ car $x_1<0$ et $0<x_2<5$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{le joueur de tennis}[3]
Un joueur de tennis se trouve à 9 m du filet et renvoie la balle à $h=50$ cm du sol avec un angle de $\alpha=20\degres$ avec l'horizontale. En fonction de sa position délicate, on estime sa vitesse de frappe à $v_0=20$~km/h.

\medskip

Sachant que la hauteur du filet est 91,4 cm et que la trajectoire de la balle est donnée par la formule :
\[
y=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{g}{\left(v_0\cos\alpha\right)^2}x^2+x\tan\alpha+h\;,
\]
où  :
\begin{itemize}
\item $g\approx9,81~\rm{m\cdot s^{-1}}$,
\item $v_0$ est la vitesse initiale (exprimée en $\rm{m\cdot s^{-1}})$,
\item $\alpha$ est l'angle de la trajectoire avec l'horizontale,
\item $h$ est la hauteur initiale (exprimée en mètre),
\end{itemize}
La balle dépassera-t-elle le filet ?

Si tel n'est pas le cas, quelle vitesse aurait-il fallu donner à la balle en la frappant ?

\tcblower

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=1]
\draw[->] (0,0) -- (10,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,2.5);
\draw[thick,red,->] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vv{\imath}$};
\draw[thick,red,->] (0,0) -- (0,2) node[midway,left] {$\vv{\jmath}$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[gray,very thick] (9,0) -- (9,1.8) node[above] {Filet};
\draw[->] (0,1) -- ($(0,1)+(20:1cm)$);
\draw[gray] (0,1) -- (1,1);
\draw[gray,dashed,->] (0.5,1) arc (0:20:0.5);
\node[gray,right,scale=0.5] at ($(0,1)+(10:0.5cm)$) {$20\degres$};
\draw[<->] (0,-0.5) -- (9,-0.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {9 m};
\shade[ball color=yellow] (0,1) circle (5pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

On convertit : $20$ km/h = $\dfrac{\numprint{20000}~\text{m}}{\numprint{3600}~\text{s}}\approx5,56~\rm{m\cdot s^{-1}}$.

En remplaçant les lettres dans la formule donnée, on a :
\[
y=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{9,81}{\left(5,56\times\cos20\degres\right)^2}x^2+x\tan20\degres+0,5\;,
\]
soit :
\[
y=-\numprint{0,179687471}x^2+\numprint{0,363970234}x+0,5.
\]

Le sommet de la parabole a pour abscisse :
\[
-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\numprint{0,363970234}}{2\times(-\numprint{0,179687471})}\approx1.
\]

Donc, au sommet de sa trajectoire, la balle n'aura pas encore atteint le filet.

\medskip

En prenant $x=9$, on obtient :
\[
y\approx-10,8
\]
ce qui signifie que la balle aura touché le sol avant 9 mètres.

Le joueur a donc perdu.

\medskip

Cherchons la vitesse minimale $v$ (en m$\cdot$s$^{-1}$) à donner à la balle lors de la frappe pour quelle franchisse le filet.

\medskip

La fonction définie par :
\[
f(x)=-\dfrac{\numprint{5,554786596}}{v^2}x^2+\numprint{0,363970234}x+0,5
\]

représente la hauteur (en mètre) de la balle en fonction de sa position $x$. 

On veut que $f(9)>0,914$, soit :
\[
-\dfrac{\numprint{5,554786596}}{v^2}\times 9^2+\numprint{0,363970234}\times9+0,5>0,914
\]
c'est-à-dire :
\begin{align*}
\dfrac{-449,955}{v^2}+2,862>0 & \Longrightarrow \dfrac{-449,955}{v^2}>-2,862\\
& \Longrightarrow \dfrac{1}{v^2}<\dfrac{-2,862}{-449,955}\\
& \Longrightarrow v^2>\dfrac{449,955}{2,862}\\
& \Longrightarrow v^2>157,217\\
& \Longrightarrow v>\sqrt{157,217}\\
& \Longleftarrow v>12,54
\end{align*}

La vitesse à donner doit donc être supérieure à 12,54 m$\cdot$s$^{-1}$ (soit à peu près 45 km/h).
\end{exocor}


%%% 
\newpage
\begin{exocor}{le saut}[3]
Une structure est schématisée ci-dessous. Une personne se met au point A et doit sauter afin d'arriver au point B. \textit{Toutes les unités sont exprimées en mètres.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
% structure
\draw[very thick] (10,0) -- (0,0) -- (0,5) -- (1,5) node[below] {A};
% point A
\fill (1,5) circle (2pt);
% Remplissage
\draw[very thick,pattern=dots] (0,0) -- ({10*cos(30)},{10*sin(30)}) -- ({10*cos(30)},0)--cycle;
% point B
\fill ({6.9*cos(30)},{6.9*sin(30)}) circle (2pt) node[above] {B};
% point O
\node[below left] at (0,0) {O};
% Flèche 5 mètres
\draw[<->,>=latex] (-1,0) -- (-1,5) node[midway,fill=white,rotate=90] {5};
% plongoir : 1 mètre
\draw[<->,>=latex] (0,5.5) -- (1,5.5) node[midway,fill=white] {1};
% distance OB = ?
\node[above,rotate=30] at ({3.5*cos(30)},{3.5*sin(30)}) {OB = ?};
% angle du bas
\draw[->,>=latex,very thick] (1.5,0) arc(0:30:1.5);
\node[right,fill=white] at (15:1.8) {$30^\circ$};
% point I et point J
\node[below] at ({10*cos(30)},0) {I};
\node[left] at (0,5) {J};
% marquage angle alpha
\draw[dashed] (1,5) -- (3,5);
\draw[->,>=latex,red] plot[domain=1:3] (\x,{2.7*sqrt(3)*(\x-1)/3+5});
\node[red,rotate=60,above] at (2,6.5) {$v_0=7$};
\draw[->,>=latex,red] (2,5) arc(0:60:1);
\node[right,red] at ({1+cos(30)},{5+sin(30)}) {$\alpha=60^\circ$};
% courbe
\draw[green!50!black,dotted] plot[domain=1:6] (\x,{(1/49)*(-20*\x*\x+(40+49*sqrt(3))*\x+225-49*sqrt(3))});
%\draw[red] plot[domain=0:10] (\x,{\x/sqrt(3)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

D'après les lois de la physique, si on se place dans le repère d'axes (OI) et (OJ) d'unités 1, la trajectoire de la personne est donnée par l'équation suivante:
\[
y = -\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}(x-1)^2+\tan(\alpha)(x-1) + y_0\;
\]
où :
\begin{itemize}
\item $g$ est l'accélération de la pesanteur. Sur Terre, on considère que $g \approx 10$ m$\cdot$s$^{-2}$;
\item $v_0$ est la vitesse initiale à laquelle se lance la personne;
\item $\alpha$ est l'angle que forme la tangente à la parabole avec l'horizontale;
\item $y_0$ est la hauteur à partir de laquelle la personne se lance.
\end{itemize}

On cherche à déterminer la longueur OB.

\begin{enumerate}
\item Montrez que l'équation de la parabole représentant la trajectoire est:
\[
y=\frac{1}{49}\left[-20x^2 + \big( 40+49\sqrt3 \big)x + 225-49\sqrt3 \right].
\]

\item Justifiez que l'équation de la droite (OB) est:
\[
y=\dfrac{1}{\sqrt3}x.
\]

\item Montrez que l'abscisse du point B vérifie l'équation:
\[
-20\sqrt3x^2+\big(40\sqrt3+98\big)x+225\sqrt3-147=0
\]

\item En déduire une valeur approchée de l'abscisse de B, puis une valeur approchée de la longueur OB à $10^{-2}$ près. % xB = 6 et OB = 6,93.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Il suffit ici de remplacer les lettres par leur valeur; cela donne:
\begin{align*}
y & = -\dfrac{10}{2\times 7^2 \times \big(\cos 60^\circ)^2}(x-1)^2 + \tan60^\circ(x-1)+5\\
& = -\dfrac{5}{49 \times (0,5)^2}(x-1)^2 + \sqrt3(x-1)+5\\
\Aboxed{y & = \dfrac{1}{49}\left(-20x^2 + (49\sqrt3+40)x + 225-49\sqrt3 \right)}
\end{align*}

\item La droite $(OB)$ fait un angle de $30^\circ$ avec l'axe des abscisses et passe par l'origine du repère considéré : $O$; par conséquent, son équation est:
\[
y = \tan60^\circ x
\]
c'est-à-dire:
\[
y = \dfrac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}x
\]
soit :
\[
\boxed{y = \dfrac{1}{\sqrt3}x}.
\]

\item $B$ est le point d'intersection de la droite $(OB)$ et de la parabole; ainsi:
\[
\begin{cases}
y_B= \dfrac{1}{49}\left(-20x_B^2 + (49\sqrt3+40)x_B + 225-49\sqrt3 \right)\\
y_B = \dfrac{1}{\sqrt3}x_B
\end{cases}
\]
et donc:
\begin{align*}
& \dfrac{1}{49}\left(-20x_B^2 + (49\sqrt3+40)x_B + 225-49\sqrt3 \right) = \dfrac{1}{\sqrt3}x_B\\
\iff\ & -20x_B^2 + (49\sqrt3+40)x_B + 225-49\sqrt3 = \dfrac{49}{\sqrt3}x_B\\
\iff\ & -20\sqrt3x_B^2 + (49\sqrt3+40)\sqrt3x_B + (225-49\sqrt3)\sqrt3 = 49x_B\\
\iff\ & -20\sqrt3x_B^2 + (147+40\sqrt3)x_B + (225\sqrt3-147) = 49x_B\\
\iff\ & -20\sqrt3x_B^2 + (147-49+40\sqrt3)x_B + (225\sqrt3-147) = 0\\
\iff\ & \boxed{-20\sqrt3x_B^2 + (98+40\sqrt3)x_B + (225\sqrt3-147) = 0}
\end{align*}

\item Pour trouver $x_B$, il suffit donc de résoudre l'équation:
\[
-20\sqrt3x^2 + (98+40\sqrt3)x + 225\sqrt3-147 = 0
\]
dont le discriminant est:
\[
\Delta = (98+40\sqrt3)^2-4\times\big(-20\sqrt3\big)\times\big(225\sqrt3-147\big)=\numprint{68404}-\numprint{3920}\sqrt3
\]
et donc les racines sont:
\[
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-98-40\sqrt3-\sqrt{\numprint{68404}-\numprint{3920}\sqrt3}}{-40\sqrt3}\approx5,997
\]
et
\[
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{-98-40\sqrt3+\sqrt{\numprint{68404}-\numprint{3920}\sqrt3}}{-40\sqrt3}\approx-1,168.
\]
$x_2<0$ donc ne peut pas convenir.

Ainsi, $x_B\approx5,997$. Il en résulte alors que:
\[
y_B = \dfrac{1}{\sqrt3}x_B\approx6,92.
\]
On en déduit:
\[
OB = \sqrt{x_B^2 + y_B^2}\approx\sqrt{5,997^2 + 6,92^2}\approx\underline{9,16}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{un triangle équilatéral}[3]
On considère un triangle de côtés de mesures respectives $a$, $b$ et $c$ telles que :
\[
a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc.
\]

Montrer que ce triangle est équilatéral.

\textit{Indication :} on pourra partir de l'égalité donnée, puis s'en inspirer pour poser une fonction trinôme de degré 2 d'inconnue $a$ par exemple.

\tcblower

$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc \iff a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc=0$.

Posons alors $f(a)=a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc$.

L'équation $f(a)=0$ admet au moins une solution car le triangle existe donc le discriminant de $f(a)$ est supérieur ou égal à 0.

\medskip

$\begin{aligned}[t]
\Delta 
& = \big[-(b+c)\big]^2-4\times1\times(b^2+c^2-bc)\\
& = b^2+2bc+c^2-4b^2-4c^2+4bc\\
& = 6bc-3(b^2+c^2)\\
& = -3\big(b^2-2bc+c^2\big)\\
& = -3(b-c)^2
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\Delta\leqslant0$. Or, on sait que $\Delta\geqslant0$ donc  $\Delta=0$, ce qui signifie que $b=c$.

Il n'y a qu'une solution à l'équation $f(a)=0$ donnée par : $-\dfrac{-(b+c)}{2}=\dfrac{2b}{2}=b$ (car $b=c$).

\underline{Finalement, on a $a=b=c$. Le triangle est donc équilatéral.}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{pour les futur.e.s expert.e.s}[3]
On pose :
\[
A=\sqrt{33+20\sqrt{2}}.
\]
On cherche à écrire $A$ sous la forme $a+b\sqrt{2}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.

\begin{enumerate}
\item Développer $\left(a+b\sqrt{2}\right)^2$.
\item Montrer alors que :
\[
\begin{cases}
a^2+2b^2=33\\
ab=10
\end{cases}
\]
\item Calculer alors $a$ et $b$.

\item S'inspirer de ce qui vient d'être fait pour trouver une formule permettant de calculer $a$ et $b$ tels que :
\[
\sqrt{p+q\sqrt{n}}=a+b\sqrt{n}\qquad;\qquad p\in\Z,\ q\in\Z,\ n\in\N*.
\]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\left(a+b\sqrt{2}\right)^2=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$.
\item Si $A=a+b\sqrt{2}=\sqrt{33+20\sqrt{2}}$, alors $A^2=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}=33+20\sqrt{2}$.

Par identification du coefficient de $\sqrt{2}$ et du nombre entier, on a :
\[
\begin{cases}
a^2+2b^2=33\\
2ab=20
\end{cases}\qquad\text{soit : }\qquad
\begin{cases}
a^2+2b^2=33\\
ab=10
\end{cases}
\]

\item De la seconde équation du système précédent, on peut déduire : 
\[ b=\dfrac{10}{a}\]
et en remplaçant $b$ par cette valeur dans la première équation, on obtient : 
\[
a^2+\dfrac{200}{a^2}=33
\]
soit :
\[
a^4-33a^2+200=0.
\]
En posant $X=a^2$, on arrive à :
\[
X^2-33X+200=0
\]
dont le discriminant est :
\[
\Delta=(-33)^2-800=289=17^2.
\]
Les deux solutions de $X^2-33X+200=0$ sont alors :
\[
X_1=\dfrac{33+17}{2}=25\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{33-17}{2}=8.
\]
Donc les solutions de $a^4-33a^2+200=0$ sont $a_1$ et $a_2$ tels que :
\[
a_1^2=25\qquad\text{et}\qquad a_2^2=8
\]
soit :
\[
a_1=5\text{ ou }a_1=-5\qquad\text{et}\qquad x_2=2\sqrt{2}\text{ ou } a_2=-2\sqrt{2}.
\]
Or, $a\in\Z$ donc $a=5$ ou $a=-5$.

\begin{itemize}
\item Si $a=5$, alors $b=\dfrac{10}{5}=2$ et $A=5+2\sqrt{2}$ ;
\item Si $a=-5$, alors $b=-2$ et $A=-5-2\sqrt{2}<0$, ce qui n'est pas possible car $A>0$.
\end{itemize}

Ainsi, 
\[
\boxed{\sqrt{33+20\sqrt{2}}=5+2\sqrt{2}}
\]

\item Posons $A=\sqrt{p+q\sqrt{n}}$. Alors, $A^2=p+q\sqrt{n}$ d'où :
\[
\begin{cases}
a^2+nb^2=p\\
b=\dfrac{q}{2a}
\end{cases}
\]
La première équation devient alors :
\[
a^2+\dfrac{nq^2}{4a^2}=p
\]
ou encore :
\[
a^4-4pa^2+nq^2=0.
\]
ou encore :
\[ X^2-4pX+nq^2\qquad\text{en posant }X=a^2.
\]
Le discriminant est :
\[
\Delta=16p^2-4nq^2=4(4p^2-nq^2).
\]

\textbf{Première condition d'existence :} il faut que $4p^2-nq^2\geqslant0$ pour pouvoir transformer l'écriture de $A$.

Dans ce cas, les deux solutions $X_1$ et $X_2$ sont :
\[
X_1=\dfrac{4p-2\sqrt{4p^2-nq^2}}{2}=2p-\sqrt{4p^2-nq^2}\qquad\text{et}\qquad X_2=2p+\sqrt{4p^2-nq^2}.
\]

\textbf{Deuxième condition : }il faut que $2p-\sqrt{4p^2-nq^2}\geqslant0$ et $2p+\sqrt{4p^2-nq^2}\geqslant0$.

\medskip

Dans ce cas,
\[
a_1=\pm\sqrt{2p-\sqrt{4p^2-nq^2}}\qquad\text{et}\qquad a_2=\pm\sqrt{2p+\sqrt{4p^2-nq^2}}.
\]

Or, $a\in\Z$ donc :

\medskip

\textbf{3\ieme{} condition :} il faut que $\sqrt{2p-\sqrt{4p^2-nq^2}}\in\N$ ou que $\sqrt{2p+\sqrt{4p^2-nq^2}}\in\N$.

On a alors :
\[
a=\pm\sqrt{2p\pm\sqrt{4p^2-nq^2}}\qquad\text{et}\qquad b=\dfrac{q}{\pm2\sqrt{2p\pm\sqrt{4p^2-nq^2}}}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{}[3]
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs tels que:
\[
\begin{cases}
a\sqrt{a}+b\sqrt{b} &= 183\\
b\sqrt{a}+a\sqrt{b} &=182
\end{cases}
\]
L'objectif est de déterminer les valeurs de $a$ et $b$.

\medskip

Posons $x=\sqrt{a}$ et $y=\sqrt{b}$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\begin{cases}x^3+y^3&=183\\xy(x+y)&=182\end{cases}$
\item Donner la forme développée de $(x+y)^3$, puis en déduire que $x+y=9$ et que $xy=\dfrac{182}{9}$.
\item En déduire les valeurs de $x$ et $y$, puis de $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item En posant $x=\sqrt{a}$ et $y=\sqrt{b}$, on a $a=x^2$ et $b=y^2$, et donc:
\begin{align*}
\begin{cases}
a\sqrt{a}+b\sqrt{b} &= 183\\
b\sqrt{a}+a\sqrt{b} &=182
\end{cases}
& \iff
\begin{cases}
x^2x+y^2y &= 183\\
y^2x+x^2y &=182
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
x^3+y^3 &= 183\\
yyx+xxy &=182
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
x^3+y^3 &= 183\\
y(xy)+x(xy) &=182
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
x^3+y^3 &= 183\\
xy(x+y) &=182
\end{cases}
\end{align*}

\item La forme développée de $(x+y)^3$ est:
\begin{align*}
(x+y)^3 & =(x+y)(x+y)^2\\
& = (x+y)(x^2+2xy+y^2)\\
& = x^3+2x^2y+xy^2+yx^2+2xy^2+y^3\\
\Aboxed{(x+y)^3 & = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}\\
& = (x^3+y^3) + 3(x^2y+xy^2)\\
& = (x^3+y^3)+3xy(x+y)\\
& = 183 + 3\times182\quad\text{d'après la question précédente}\\
& = 729\\
(x+y)^3& = 9^3.
\end{align*}
\underline{Ainsi, $x+y=9$.}

\bigskip

De l'égalité \og $xy(x+y)=182$ \fg{} et du fait que $x+y=9$, on déduit que $\boxed{xy=\dfrac{182}{9}}$.

\item On sait que si $S=x+y$ et $P=xy$ alors $x$ et $y$ sont racines du polynôme $X^2-SX+P$.

Ici, $S=9$ et $P=\dfrac{182}{9}$ donc $x$ et $y$ sont les racines de $X^2-9X+\dfrac{182}{9}$, dont le discriminant est:
\[
\Delta=(-9)^2-4\times\dfrac{182}{9}=\dfrac{1}{9}.
\]
Les racines sont alors égales à $x = \dfrac{182-\sqrt\Delta}{2}=\dfrac{13}{3}$ et $y = \dfrac{182+\sqrt\Delta}{2}=\dfrac{14}{3}$.

\bigskip

On en déduit alors que $a=x^2=\dfrac{169}{9}$ et $b=y^2=\dfrac{196}{9}$.

\vspace*{3em}~
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{trouver deux coefficients}[3]
L'équation $x^2-sx+t=0$ admet deux solutions notées $a$ et $b$.

De plus, l'équation :
\[
x^2-s^2x+st=0
\]
admet pour solutions les nombres $a+1$ et $b+1$.

\medskip

Que vaut $s$ et $t$ ?

\tcblower

On sait que si $a$ et $b$ sont solutions d'une équation polynomiale de degré 2 alors, ils sont aussi solutions de l'équation :
\[
x^2-(a+b)x+ab=0.
\]
Comme $a$ et $b$ sont solutions de l'équation :
\[
x^2-sx+t=0\;,
\]
on a :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
a+b & s\\
ab & t
\end{array}
\right.
\]
De même, comme $a+1$ et $b+1$ sont solutions de l'équation :
\[
x^2-s^2x+st=0\;,
\]
on a :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
(a+1)+(b+1) & s^2\\
(a+1)(b+1) & st
\end{array}
\right.
\]
soit :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
a+b+2 & s^2\\
ab+a+b+1 & st
\end{array}
\right.
\]
Comme $a+b=s$ et $ab=t$ (d'après le premier système), on obtient :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\;=\;}l}
s^2-s-2 & 0\\
t+s+1 & st
\end{array}
\right.
\]
L'équation :
\[
s^2-s-2=0
\]
a pour solutions :
\[
s_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\left\{\begin{array}{l}
s_1=-1\\
s_2=2
\end{array} \right.
\]
\begin{itemize}
\item Si $s=-1$, alors l'équation $t+s+1=st$ devient :
\[
t=-t\qquad\text{soit :}\qquad t=0
\]
Dans ce cas, le couple solution demandé est : $\boxed{\coord{s}{t}=\coord{-1}{0},\ t\in\R}$.

\item Si $s=2$, alors l'équation $t+s+1=st$ devient :
\[
t+3=2t\qquad\text{soit}\qquad t=3
\]
Dans ce cas, le couple solution demandé est : $\boxed{\coord{s}{t}=\coord{2}{3},\ t\in\R}$.
\end{itemize}

\begin{rem}
Si on vérifie nos résultats, on voit dans un premier temps que le couple \coord{-1}{0} donne pour la première équation : $x^2+x=0$ (qui admet pour solutions 0 et $-1$) et donne pour la seconde équation : $x^2-x=0$ (qui admet 0 et 1 pour solutions, et qui sont bien les successeurs de $-1$ et 0).

En revanche, pour le couple \coord{2}{3}, la première équation donne : $x^2-2x+3=0$, de discriminant négatif. Il n'y a donc pas de solutions... dans l'ensemble des réels ! Car en effet, elle admet quand-même des solutions, mais dans un ensemble plus \og grand \fg{} que celui des nombres réels : l'ensemble des nombres \textit{complexes} (que vous verrez l'année prochaine).
\end{rem}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{}[3]
On souhaite résoudre dans \R l'équation: $(E):\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$.

On pose alors $t=x-8$ et on admet l'égalité suivante: $
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.

On précise que $\sqrt[3]{x}$ est le nombre réel $y$ tel que $y^3=x$.

\begin{enumerate}
\item Montrer l'équivalence suivante: $(E) \iff \sqrt[3]{t-8}+\sqrt[3]{t+8}=\sqrt[3]{t}$.
\item Montrer alors l'équivalence suivante: $(E) \iff 3\sqrt[3]{t(t^2-64)}=-t$.
\item En déduire l'équivalence suivante: $(E) \iff 7x^2 - 112x + 16= 0$.
\item En déduire les solutions de $(E)$.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On pose $t=x-8$, donc $x=t+8$; nous pouvons donc remplacer $x$ par $t+8$ dans $(E)$ :
\begin{align*}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8} & \iff \sqrt[3]{t+8} + \sqrt[3]{t-8} = \sqrt[3]{t}
\end{align*}

\item \'Elevons les deux membres de cette dernière équation au cube à l'aide de la formule:
\[
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)
\]
où $a=\sqrt[3]{t-8}$ et $b=\sqrt[3]{t+8}$:
\begin{align*}
(E) & \iff \big(\sqrt[3]{t+8} + \sqrt[3]{t-8} \big)^3 = \big(\sqrt[3]{t}\big)^3\\
& \iff (t+8)+(t-8)+3\sqrt[3]{t+8}\times\sqrt[3]{t-8}\times\big(\sqrt[3]{t+8}+\sqrt[3]{t-8}\big) = t\\
& \iff 2t + 3\sqrt[3]{(t+8)(t-8)}\big(\sqrt[3]{t+8}+\sqrt[3]{t-8}\big) = t\\
& \iff 3\sqrt[3]{t^2-64}\big(\sqrt[3]{t+8}+\sqrt[3]{t-8}\big)=-t
\end{align*}
Or, d'après $(E)$, $\sqrt[3]{t+8}+\sqrt[3]{t-8}=\sqrt[3]{t}$, d'où:
\begin{align*}
(E) & \iff 3\sqrt[3]{t^2-64}\times\sqrt[3]{t}=-t\\
& \iff 3\sqrt[3]{t(t^2-64)}=-t
\end{align*}
En élevant à nouveau au cube les deux membres de cette dernière équation, nous obtenons:
\begin{align*}
(E) & \iff 3^3t(t^2-64)=(-t)^3\\
& \iff 27t(t^2-64)=-t^3\\
& \iff 27(t^2-64)=-t^2,\quad t\neq0\\
& \iff 27t^2 - \numprint{1728}=-t^2,\quad t\neq0\\
& \iff 28t^2 - \numprint{1728}=0,\quad t\neq0\\
& \iff 28(x-8)^2-\numprint{1728}=0,\quad x\neq8\\
& \iff 28(x^2-16x+64)-\numprint{1728}=0,\quad x\neq8\\
& \iff 28x^2-448x+64=0,\quad x\neq0\\
& \iff 7x^2-112x+32=0,\quad x\neq0\text{(en simplifiant par 4)}
\end{align*}

\item Le discriminant de $7x^2-112x+32$ est:
\[
\Delta = (-112)^2-4\times7\times32 = \numprint{12096}=(24\sqrt{21})^2>0
\]
donc il admet deux racines:
\[
x_1=\dfrac{-(-112)-24\sqrt{21}}{14}=\dfrac{56-12\sqrt{21}}{7}
\]
et sa racine conjuguée:
\[
x_2=\dfrac{56+12\sqrt{21}}{7}.
\]

Ainsi, l'équation $(E)$ $x_1$ et $x_2$ comme solutions.

De plus, n'oublions pas que nous avons exclus le cas où $x=8$; il faut donc vérifier si $x=8$ est solution ou  pas : sachant que $\sqrt[3]{8}=2$, et donc que $\sqrt[3]{-8}=-2$, 

\medskip

\[
(E) \iff 2 + (-2) = 0
\]

\medskip

Cette dernière égalité est vraie, donc 8 est solution de $(E)$. L'ensemble solution de $(E)$ est donc:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{8~;~ \dfrac{56-12\sqrt{21}}{7} ~;~\dfrac{56+12\sqrt{21}}{7}\right\} }
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Faire le point sur ce chapitre}

\begin{exocor}{QCM}[2]
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
% 1
\item Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a\neq0$ et soit $g$ la fonction définie sur \R par :
\[ g(x)=ax^2+bx+c. \]
Soit $\Delta$ son discriminant.

La représentation graphique de la fonction $g$ dans un repère orthonormé est donnée ci-contre.

Alors on peut affirmer que :
\begin{enumerate}
\item $a>0$ et $\Delta<0$.
\item $a>0$ et $\Delta>0$.
\item \label{secdegqcmq1c}$a<0$ et $\Delta>0$.
\item $a<0$ et $\Delta<0$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\includegraphics[scale=0.4]{01-qcm-parabole.jpg}
\end{minipage}

%2
\item Quelle est la forme factorisée de $f(x)=0,5(x-2)^2-8$?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $0,5x^2-2x-6$.
\item \label{secdegqcmq2b}$0,5(x-6)(x+2)$.
\item $0,5(x+10)(x-6)$.
\item $0,5(x-10)(x+6)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

%3
\item L'équation $2x^4-5x^2+3=x^2-1$:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item n'admet aucune solution réelle.
\item admet une unique solution.
\item admet deux solutions distinctes.
\item \label{secdegqcmq3d}admet quatre solutions distinctes.
\end{multicols}
\end{enumerate}

%4
\item L'équation $3x^2+y^2+9x+6=y^2$ n'est pas équivalente à l'équation:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $x^2+3x+2=0$.
\item $(x+1)(x+2)=0$.
\item \label{secdegqcmq4c}$2y^2+3x^2+9x+6=0$.
\item $3x^2+9x+6=0$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

%5
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation d'inconnue $x\in\R$: $-x^2-2x+8>0$ est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item \intervFF{-4}{2}.
\item \label{secdegqcmq6b}\intervOO{-4}{2}.
\item $\intervOF{-\infty}{-4}\cup\intervOO{2}{+\infty}$.
\item $\{-4\;;\;2\}$.
\end{multicols}
\end{enumerate} 

%6
\item Soit $f$ une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-3}{-5}{2}{3}
\draw[thick,numpageenonce] plot[domain=-2.5:1.5,samples=70] (\x,{2*\x*\x+2*\x-4});
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour tout réel $x$, une expression de $f(x)$ est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $x^2+x-2$.
\item $-x^2-4$.
\item \label{secdegqcmq5c}$2x^2+2x-4$.
\item $-3x^2-3x+6$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Combien y-a-t-il de fonctions polynômes du second degré qui s'annulent en 1 et en 3 ?
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item 0.
\item 1 seule.
\item 2.
\item \label{secdegqcmq7d}Une infinité.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Dans un repère orthonormé, la parabole d'équation $y=3x^2-9x+5$ a pour sommet le point $S$ et pour axe de symétrie la droite $(d)$. Les coordonnées de $S$ et l'équation de $(d)$ sont :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item \label{secdegqcmq8a}$S\coord{\dfrac{3}{2}}{-\dfrac{7}{4}}$ et $(d):x=\dfrac{3}{2}$.
\item $S\coord{\dfrac{3}{2}}{-\dfrac{7}{4}}$ et $(d):y=-\dfrac{7}{4}$.
\item $S\coord{3}{5}$ et $(d):x=3$.
\item $S\coord{3}{5}$ et $(d):y=5$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Une fonction polynôme du second degré :
\begin{enumerate}
\item est nécessairement de signe constant sur \R.
\item n'est jamais de signe constant sur \R.
\item est nécessairement positive sur \R.
\item \label{secdegqcmq9d}peut être ou non de signe constant sur \R.
\end{enumerate}

\item Dans le plan muni d'un repère, les courbes représentatives des fonctions\linebreak $x\mapsto 15x^2+10x-1$ et $x\mapsto19x^2-22x+10$ ont :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item aucun point d'intersection.
\item un seul point d'intersection.
\item \label{secdegqcmq10c}deux points d'intersection.
\item quatre points d'intersection.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
%1
\item Réponse \ref{secdegqcmq1c} En effet, la parabole possède des branches orientées vers le bas, donc $a<0$, et coupe deux fois l'axe des abscisses (donc $g(x)$ a deux racines distinctes, ce qui signifie que $\Delta>0$).

%2
\item Réponse \ref{secdegqcmq2b} En effet, 
\begin{align*}
f(x) & = 0,5(x-2)^2-8\\
& = 0,5\left[(x-2)^2-\frac{8}{0,5}\right]\\
& = 0,5\big[(x-2)^2-16\big]\\
&=0,5\big[(x-2)^2-4^2\big]\\
& = 0,5\big[ (x-2-4)(x-2+4) \big]\\
& = 0,5(x-6)(x+2).
\end{align*}
%3
\item Réponse \ref{secdegqcmq3d} En effet,
\begin{align*}
2x^4-5x^2+3=x^2-1 & \iff 2x^4-6x^2+3=0\\
& \iff 2X^2-6X+3=0,\quad\text{avec }X=x^2 
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $2X^2-6X+3$ est:
\[
\Delta = (-6)^2-4\times2\times3=36-24=12>0
\]
donc $2X^2-6X+3$ admet deux racines:
\[
X_1=x_1^2=\dfrac{6-\sqrt{12}}{4}=\dfrac{3-\sqrt3}{2}>0
\]
et
\[
X_2=x_2^2=\dfrac{6+\sqrt{12}}{4}=\dfrac{3+\sqrt3}{2}>0
\]
donc:
\[
x_1=\sqrt{X_1}\text{ ou }X_1=-\sqrt{X_1}
\]
et
\[
x_2=\sqrt{X_2}\text{ ou }X_1=-\sqrt{X_2}.
\] 
Il y a donc bien quatre solutions à l'équation.
%4
\item Réponse \ref{secdegqcmq4c} En effet,
\begin{align*}
3x^2+y^2+9x+6=y^2 & \iff 3x^2+y^2+9x+6\textcolor{red}{-y^2}=y^2\textcolor{red}{-y^2} & \\
& \iff 3x^2+9x+6=0 & \text{(réponse d)}\\
& \iff 3(x^2+3x+2)=0 & \\
& \iff x^2+3x+2=0 & \text{(réponse a)}\\
& \iff (x+1)(x+2)=0 & \text{(réponse b)}
\end{align*}

\item Réponse \ref{secdegqcmq6b} En effet, le discriminant du polynôme $-x^2-2x+8$ est:
\[
\Delta=(-2)^2-4\times(-1)\times8=4+32=36>0
\]
donc il est positif (du signe opposé à $-1$, coefficient de $x^2$) entre les racines $-4$ et 2. L'inégalité étant \textit{stricte}, les crochets sont ouverts.

%6
\item Réponse \ref{secdegqcmq5c} On peut procéder par élimination:
\begin{itemize}
\item les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, donc le coefficient de $x^2$ est positif, ce qui élimine les réponses $b$ et $d$;
\item la parabole coupe l'axe des ordonnées en $y=-4$ donc $f(0)=-4$, ce qui élimine la réponse $a$. Il ne reste donc plus que la réponse \ref{secdegqcmq5c} 
\end{itemize}


\item Réponse \ref{secdegqcmq7d} En effet, une fonction polynôme du second degré qui s'annule en 1 et en 3 s'écrit sous la forme $f(x)=a(x-1)(x-3)$, $a\in\R$. Comme il y a une infinité de nombres réels $a$, il y a aussi une infinité de fonctions $f(x)$.

\item Réponse \ref{secdegqcmq8a} En effet, l'abscisse du sommet est $x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-9}{6}=\dfrac{3}{2}$. On peut donc éliminer les propositions $c$ et $d$.

De plus, un axe de symétrie d'une parabole est toujours de la forme $x=-\dfrac{b}{2a}$, on peut donc éliminer la réponse $b$.

\item Réponse \ref{secdegqcmq9d} Une fonction polynôme du second degré peut être ou non de signe constant sur \R. Tout dépend du signe de son discriminant.

\item Réponse \ref{secdegqcmq10c} Pour savoir combien de points d'intersection les courbes représentatives des fonctions $x\mapsto 15x^2+10x-1$ et $x\mapsto19x^2-22x+10$ ont, il faut résoudre l'équation :
\[
(19x^2-22x+10) - (15x^2+10x-1) = 0 \iff 4x^2-32x+11=0.
\]
Le discriminant du polynôme $4x^2-32x+11$ est:
\[
\Delta = (-32)^2-4\times4\times11=848>0
\]
donc l'équation admet deux solutions. Il y a donc deux points d'intersection.
\end{enumerate}
\end{exocor}

\begin{rem}
Le second degré est un outil qui intervient dans de nombreux thèmes, que ce soit en mathématiques comme dans d'autres disciplines (sciences physiques, S.V.T. ou économie par exemple).

\medskip

Vous trouverez donc des questions sur le second degré dans des QCM ou dans des exercices portant sur d'autres notions que vous verrez cette année.
\end{rem}

\corriges
